MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacan Structured version   Unicode version

Theorem nnacan 6874
Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnacan  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  <->  B  =  C ) )

Proof of Theorem nnacan
StepHypRef Expression
1 nnaword 6873 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  C_  C  <->  ( A  +o  B )  C_  ( A  +o  C ) ) )
213comr 1162 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  C_  C  <->  ( A  +o  B )  C_  ( A  +o  C ) ) )
3 nnaword 6873 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  C_  B  <->  ( A  +o  C )  C_  ( A  +o  B ) ) )
433com13 1159 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  C_  B  <->  ( A  +o  C )  C_  ( A  +o  B ) ) )
52, 4anbi12d 693 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  C_  C  /\  C  C_  B )  <-> 
( ( A  +o  B )  C_  ( A  +o  C )  /\  ( A  +o  C
)  C_  ( A  +o  B ) ) ) )
65bicomd 194 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( ( A  +o  B )  C_  ( A  +o  C )  /\  ( A  +o  C
)  C_  ( A  +o  B ) )  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) ) )
7 eqss 3365 . 2  |-  ( ( A  +o  B )  =  ( A  +o  C )  <->  ( ( A  +o  B )  C_  ( A  +o  C
)  /\  ( A  +o  C )  C_  ( A  +o  B ) ) )
8 eqss 3365 . 2  |-  ( B  =  C  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) )
96, 7, 83bitr4g 281 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  =  ( A  +o  C )  <->  B  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   omcom 4848  (class class class)co 6084    +o coa 6724
This theorem is referenced by:  omopthi  6903  unfilem2  7375  ackbij1lem13  8117  ackbij1lem16  8120  addcanpi  8781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731
  Copyright terms: Public domain W3C validator