MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaord Structured version   Unicode version

Theorem nnaord 6864
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaord  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaord
StepHypRef Expression
1 nnaordi 6863 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
213adant1 976 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
3 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B
) )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B ) ) )
5 nnaordi 6863 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) )
653adant2 977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
74, 6orim12d 813 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  =  B  \/  B  e.  A
)  ->  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B
)  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) ) )
87con3d 128 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( -.  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
9 df-3an 939 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om ) )
10 ancom 439 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om ) 
<->  ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
) )
11 anandi 803 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  <->  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om ) ) )
129, 10, 113bitri 264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om ) ) )
13 nnacl 6856 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
14 nnord 4855 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  A
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  Ord  ( C  +o  A ) )
16 nnacl 6856 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
17 nnord 4855 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  B
) )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  Ord  ( C  +o  B ) )
1915, 18anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( Ord  ( C  +o  A
)  /\  Ord  ( C  +o  B ) ) )
2012, 19sylbi 189 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( Ord  ( C  +o  A
)  /\  Ord  ( C  +o  B ) ) )
21 ordtri2 4618 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( C  +o  A )  /\  Ord  ( C  +o  B
) )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  <->  -.  (
( C  +o  A
)  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  <->  -.  (
( C  +o  A
)  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) ) )
23 nnord 4855 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
24 nnord 4855 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
2523, 24anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )
26253adant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( Ord  A  /\  Ord  B
) )
27 ordtri2 4618 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
2826, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
298, 22, 283imtr4d 261 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  ->  A  e.  B )
)
302, 29impbid 185 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   Ord word 4582   omcom 4847  (class class class)co 6083    +o coa 6723
This theorem is referenced by:  nnaordr  6865  nnaword  6872  nnaordex  6883  nnneo  6896  unfilem1  7373  ltapi  8782  1lt2pi  8784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730
  Copyright terms: Public domain W3C validator