Theorem nnarcl 4238

Description: Reverse closure law for addition of natural numbers. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 62 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
nnarcl	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om <-> (A e. om /\ B e. om)))

Proof of Theorem nnarcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaword1 4192	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> A (_ (A +o B))
2		eloni 2964	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
3		ordom 3147	. . . . . . . 8 |- Ord om
4		ordtr2 3008	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord om) -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
5	3, 4	mpan2 698	. . . . . . 7 |- (Ord A -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
6	2, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. On -> ((A (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> A e. om))
7	6	exp3a 376	. . . . 5 |- (A e. On -> (A (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> A e. om)))
8	7	adantr 391	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> A e. om)))
9	1, 8	mpd 26	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> A e. om))
10		oaword2 4193	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> B (_ (A +o B))
11	10	ancoms 438	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> B (_ (A +o B))
12		eloni 2964	. . . . . . 7 |- (B e. On -> Ord B)
13		ordtr2 3008	. . . . . . . 8 |- ((Ord B /\ Ord om) -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
14	3, 13	mpan2 698	. . . . . . 7 |- (Ord B -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
15	12, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. On -> ((B (_ (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> B e. om))
16	15	exp3a 376	. . . . 5 |- (B e. On -> (B (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> B e. om)))
17	16	adantl 390	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (B (_ (A +o B) -> ((A +o B) e. om -> B e. om)))
18	11, 17	mpd 26	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> B e. om))
19	9, 18	jcad 602	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om -> (A e. om /\ B e. om)))
20		nnacl 4235	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
21	19, 20	impbid1 519	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A +o B) e. om <-> (A e. om /\ B e. om)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960   (_ wss 2050  Ord word 2953  Oncon0 2954  omcom 3137  (class class class)co 3969   +o coa 4136

This theorem is referenced by:  nnaordex 4255  nnawordex 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141

Copyright terms: Public domain