MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword Unicode version

Theorem nnaword 6667
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaword
StepHypRef Expression
1 nnaord 6659 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
213com12 1155 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
32notbid 285 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) )
4 nnord 4701 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
5 nnord 4701 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
6 ordtri1 4462 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
74, 5, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
873adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 nnacl 6651 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
109ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
11103adant2 974 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e. 
om )
12 nnacl 6651 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
1312ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
14133adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  B )  e. 
om )
15 nnord 4701 . . . 4  |-  ( ( C  +o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  A
) )
16 nnord 4701 . . . 4  |-  ( ( C  +o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  B
) )
17 ordtri1 4462 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( C  +o  A )  /\  Ord  ( C  +o  B
) )  ->  (
( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
1815, 16, 17syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( C  +o  A
)  e.  om  /\  ( C  +o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
1911, 14, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
203, 8, 193bitr4d 276 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1701    C_ wss 3186   Ord word 4428   omcom 4693  (class class class)co 5900    +o coa 6518
This theorem is referenced by:  nnacan  6668  nnaword1  6669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-oadd 6525
  Copyright terms: Public domain W3C validator