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Theorem nnawordex 6651
Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnawordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnawordex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  om )
2 nnon 4678 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  On )
4 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  om )
5 nnaword2 6644 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
61, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  B
) )
87sseq2d 3219 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  B ) ) )
98elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  <->  ( B  e.  On  /\  B  C_  ( A  +o  B
) ) )
103, 6, 9sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  {
y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
11 intss1 3893 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  B
)
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  B
)
13 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  On
14 ne0i 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )
1510, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )
16 oninton 4607 . . . . . . . 8  |-  ( ( { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  On  /\  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On )
1713, 15, 16sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  On )
18 eloni 4418 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
1917, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
20 ordom 4681 . . . . . 6  |-  Ord  om
21 ordtr2 4452 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  /\  Ord  om )  ->  ( ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  B  /\  B  e.  om )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om ) )
2219, 20, 21sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  C_  B  /\  B  e.  om )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om ) )
2312, 1, 22mp2and 660 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om )
24 nna0 6618 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
2524ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
26 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B
)
2725, 26eqsstrd 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  C_  B )
28 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  (/) 
->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  =  ( A  +o  (/) ) )
2928sseq1d 3218 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  (/) 
->  ( ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B  <->  ( A  +o  (/) )  C_  B
) )
3027, 29syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) 
C_  B ) )
31 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x )
3231oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  ( A  +o  suc  x ) )
334adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  A  e.  om )
34 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  x  e.  om )
35 nnasuc 6620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3633, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x ) )
3732, 36eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  suc  ( A  +o  x ) )
38 nnord 4680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
391, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  Ord  B )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  Ord  B )
41 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  x  e.  On )
43 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4443sucid 4487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
suc  x
45 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x )
4644, 45syl5eleqr 2383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
47 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  x
) )
4847sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
4948onnminsb 4611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
5042, 46, 49sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) )
5150adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x
) )
52 nnacl 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
5333, 34, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  x )  e.  om )
54 nnord 4680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  +o  x )  e.  om  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  Ord  ( A  +o  x ) )
56 ordtri1 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  ( A  +o  x
) )  ->  ( B  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  B ) )
5740, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( B  C_  ( A  +o  x
)  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  B
) )
5857con2bid 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  e.  B  <->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
5951, 58mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  x )  e.  B
)
60 ordsucss 4625 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
B  ->  ( ( A  +o  x )  e.  B  ->  suc  ( A  +o  x )  C_  B ) )
6140, 59, 60sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  suc  ( A  +o  x )  C_  B )
6237, 61eqsstrd 3225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  C_  B )
6362expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  om )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x  -> 
( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) 
C_  B ) )
6463rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( E. x  e.  om  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B )
)
65 nn0suc 4696 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  om 
->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )
6623, 65syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )
6730, 64, 66mpjaod 370 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B )
68 onint 4602 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  On  /\  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
6913, 15, 68sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  {
y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
70 nfrab1 2733 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }
7170nfint 3888 . . . . . . . 8  |-  F/_ y |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }
72 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ y On
73 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y B
74 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
75 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  +o
7674, 75, 71nfov 5897 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
7773, 76nfss 3186 . . . . . . . 8  |-  F/ y  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
78 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
7978sseq2d 3219 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) ) )
8071, 72, 77, 79elrabf 2935 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  <->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On  /\  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) ) )
8180simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  ->  B 
C_  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
8269, 81syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) )
8367, 82eqssd 3209 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  =  B )
84 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
8584eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( x  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  (
( A  +o  x
)  =  B  <->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  B ) )
8685rspcev 2897 . . . 4  |-  ( (
|^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  om  /\  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
8723, 83, 86syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B )
8887ex 423 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
89 nnaword1 6643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
9089adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
91 sseq2 3213 . . . 4  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  A  C_  B
) )
9290, 91syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
9392rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
9488, 93impbid 183 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   |^|cint 3878   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  nnaordex  6652  unfilem1  7137  hashdom  11377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
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