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Theorem nnawordi 6866
Description: Adding to both sides of an inequality in  om (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
nnawordi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem nnawordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3379 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
43imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) ) )
54imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )  <-> 
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) ) ) )
6 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
7 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
86, 7sseq12d 3379 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
98imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) ) )
109imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12sseq12d 3379 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
1413imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) )  <-> 
( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
1514imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
16 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
17 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1816, 17sseq12d 3379 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
1918imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
2019imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) ) ) )
21 nnon 4853 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
22 nnon 4853 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
23 oa0 6762 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
2423adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
25 oa0 6762 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2625adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2724, 26sseq12d 3379 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
2827biimprd 216 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
2921, 22, 28syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
30 nnacl 6856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  e.  om )
3130ancoms 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  e.  om )
3231adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( A  +o  y )  e.  om )
33 nnon 4853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  y )  e.  On )
34 eloni 4593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
36 nnacl 6856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
3736ancoms 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
3837adantrl 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
39 nnon 4853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
40 eloni 4593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
42 ordsucsssuc 4805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
4335, 41, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
4443biimpa 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) )
45 nnasuc 6851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
4645ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
4746adantrr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
48 nnasuc 6851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
4948ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5049adantrl 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
5147, 50sseq12d 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
5251adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
5344, 52mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) )
5453ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
5554imim2d 51 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
) )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
5655ex 425 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
5756a2d 25 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
585, 10, 15, 20, 29, 57finds 4873 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C
)  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
5958com12 30 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C
)  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
60593impia 1151 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   (/)c0 3630   Ord word 4582   Oncon0 4583   suc csuc 4585   omcom 4847  (class class class)co 6083    +o coa 6723
This theorem is referenced by:  omopthlem2  6901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730
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