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Theorem nnawordi 6619
Description: Adding to both sides of an inequality in  om (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
nnawordi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem nnawordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
43imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )  <-> 
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) ) ) )
6 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
7 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
86, 7sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
98imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
1413imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) )  <-> 
( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
16 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
17 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1816, 17sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
1918imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
2019imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) ) ) )
21 nnon 4662 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
22 nnon 4662 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
23 oa0 6515 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
25 oa0 6515 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2625adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2724, 26sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
2827biimprd 214 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
2921, 22, 28syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
30 nnacl 6609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  e.  om )
3130ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  e.  om )
3231adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( A  +o  y )  e.  om )
33 nnon 4662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  y )  e.  On )
34 eloni 4402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
36 nnacl 6609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
3736ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
3837adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
39 nnon 4662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
40 eloni 4402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
42 ordsucsssuc 4614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
4335, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
4443biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) )
45 nnasuc 6604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
4645ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
4746adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
48 nnasuc 6604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
4948ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5049adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
5147, 50sseq12d 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
5344, 52mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) )
5453ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
5554imim2d 48 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
) )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
5655ex 423 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
5756a2d 23 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
585, 10, 15, 20, 29, 57finds 4682 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C
)  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
5958com12 27 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C
)  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
60593impia 1148 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656  (class class class)co 5858    +o coa 6476
This theorem is referenced by:  omopthlem2  6654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483
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