MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncan Unicode version

Theorem nncan 9263
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
nncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )

Proof of Theorem nncan
StepHypRef Expression
1 subsub2 9262 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B ) )  =  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
213anidm12 1241 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
3 pncan3 9246 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
42, 3eqtrd 2420 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   CCcc 8922    + caddc 8927    - cmin 9224
This theorem is referenced by:  nnncan1  9270  nncand  9349  elz2  10231  fzrev2  11041  fzrevral  11062  fzrevral2  11063  bccmpl  11528  revrev  11727  fsumrev  12490  geolim2  12576  dvdssub2  12815  efgredleme  15303  psrcom  16400  psropprmul  16560  icccvx  18847  lebnumii  18863  pcorevlem  18923  pcorev2  18925  pi1xfrcnv  18954  efcvx  20233  sincos3rdpi  20292  cosne0  20300  logtayl  20419  logtayl2  20421  logccv  20422  acoscos  20601  sinacos  20613  cvxcl  20691  scvxcvx  20692  basellem5  20735  logfacbnd3  20875  bposlem1  20936  lgsquadlem2  21007  chtppilimlem2  21036  rplogsumlem1  21046  rpvmasumlem  21049  rescon  24713  brbtwn2  25559  ax5seglem1  25582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator