MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncn Unicode version

Theorem nncn 9754
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nncn  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncn
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9751 . 2  |-  NN  C_  CC
21sseli 3176 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   CCcc 8735   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  nn1m1nn  9766  nn1suc  9767  nnaddcl  9768  nnmulcl  9769  nnsub  9784  nndiv  9786  nndivtr  9787  nnnn0addcl  9995  nn0nnaddcl  9996  elnnnn0  10007  nn0sub  10014  nnnegz  10027  elz2  10040  zaddcl  10059  nnaddm1cl  10073  zdiv  10082  zdivadd  10083  zdivmul  10084  nneo  10095  peano5uzi  10100  uzindOLD  10106  elq  10318  qmulz  10319  qaddcl  10332  qnegcl  10333  qmulcl  10334  qreccl  10336  rpnnen1lem5  10346  fseq1m1p1  10858  quoremz  10959  quoremnn0ALT  10961  intfracq  10963  fldiv  10964  fldiv2  10965  modmulnn  10988  nn0ennn  11041  ser1const  11102  expneg  11111  expm1t  11130  nnsqcl  11173  nnlesq  11206  digit2  11234  digit1  11235  facdiv  11300  facndiv  11301  faclbnd  11303  faclbnd4lem1  11306  faclbnd4lem4  11309  bcn1  11325  bcm1k  11327  bcp1n  11328  bcval5  11330  isercoll2  12142  divcnv  12312  harmonic  12317  arisum  12318  arisum2  12319  expcnv  12322  geomulcvg  12332  mertenslem2  12341  ef0lem  12360  efexp  12381  ruclem12  12519  sqr2irr  12527  divalgmod  12605  ndvdsadd  12607  modgcd  12715  gcddiv  12728  gcdmultiple  12729  gcdmultiplez  12730  rpmulgcd  12734  rplpwr  12735  sqgcd  12737  prmind2  12769  qredeq  12785  qredeu  12786  isprm6  12788  divnumden  12819  divdenle  12820  nn0gcdsq  12823  pythagtriplem1  12869  pythagtriplem2  12870  pythagtriplem6  12874  pythagtriplem7  12875  pythagtriplem12  12879  pythagtriplem14  12881  pythagtriplem15  12882  pythagtriplem16  12883  pythagtriplem17  12884  pythagtriplem19  12886  pcqcl  12909  pcexp  12912  pcneg  12926  fldivp1  12945  prmpwdvds  12951  infpnlem2  12958  prmreclem1  12963  prmreclem6  12968  4sqlem19  13010  vdwapun  13021  vdwapid1  13022  mulgnegnn  14577  mulgnnass  14595  odmod  14861  cnfldmulg  16406  prmirredlem  16446  znidomb  16515  znrrg  16519  ovolunlem1  18856  uniioombllem3  18940  vitali  18968  mbfi1fseqlem3  19072  dvexp  19302  dvexp3  19325  plyeq0lem  19592  dgrcolem1  19654  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem7  19729  pserdv2  19806  abelthlem6  19812  logtayl  20007  logtaylsum  20008  logtayl2  20009  cxpexp  20015  cxproot  20037  root1id  20094  root1eq1  20095  cxpeq  20097  atantayl  20233  atantayl2  20234  birthdaylem2  20247  dfef2  20265  emcllem2  20290  emcllem3  20291  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem5  20322  basellem8  20325  mumul  20419  dvdsdivcl  20421  dvdsflip  20422  fsumdvdscom  20425  muinv  20433  chtublem  20450  perfect  20470  pcbcctr  20515  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem6  20528  lgssq  20574  lgssq2  20575  2sqlem6  20608  2sqlem10  20613  rplogsumlem1  20633  dchrmusumlema  20642  dchrmusum2  20643  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmaeq0  20653  dchrisum0re  20662  logdivbnd  20705  gxnn0neg  20930  ipasslem4  21412  ipasslem5  21413  zetacvg  23689  subfacp1lem6  23716  subfaclim  23719  snmlff  23912  circum  24007  nndivsub  24896  nn0prpwlem  26238  irrapxlem1  26907  pellexlem1  26914  pellqrex  26964  2nn0ind  27030  jm2.17c  27049  acongrep  27067  jm2.18  27081  jm2.20nn  27090  jm2.16nn0  27097  hashgcdlem  27516  proot1ex  27520  clim1fr1  27727  dvsinexp  27740  itgsinexp  27749  stoweidlem1  27750  stoweidlem11  27760  stoweidlem14  27763  stoweidlem25  27774  stoweidlem26  27775  stoweidlem34  27783  stoweidlem37  27786  stoweidlem38  27787  stoweidlem42  27791  wallispilem4  27817  wallispilem5  27818  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  wallispi2  27822  stirlinglem1  27823  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem8  27830  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator