MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncn Structured version   Unicode version

Theorem nncn 10008
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nncn  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncn
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10005 . 2  |-  NN  C_  CC
21sseli 3344 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   CCcc 8988   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  nn1m1nn  10020  nn1suc  10021  nnaddcl  10022  nnmulcl  10023  nnsub  10038  nndiv  10040  nndivtr  10041  nnnn0addcl  10251  nn0nnaddcl  10252  elnnnn0  10263  nn0sub  10270  nnnegz  10285  elz2  10298  zaddcl  10317  nnaddm1cl  10331  zdiv  10340  zdivadd  10341  zdivmul  10342  nneo  10353  peano5uzi  10358  uzindOLD  10364  elq  10576  qmulz  10577  qaddcl  10590  qnegcl  10591  qmulcl  10592  qreccl  10594  rpnnen1lem5  10604  fseq1m1p1  11123  quoremz  11236  quoremnn0ALT  11238  intfracq  11240  fldiv  11241  fldiv2  11242  modmulnn  11265  nn0ennn  11318  ser1const  11379  expneg  11389  expm1t  11408  nnsqcl  11451  nnlesq  11484  digit2  11512  digit1  11513  facdiv  11578  facndiv  11579  faclbnd  11581  faclbnd4lem1  11584  faclbnd4lem4  11587  bcn1  11604  bcm1k  11606  bcp1n  11607  bcval5  11609  bcn2m1  11615  isercoll2  12462  divcnv  12633  harmonic  12638  arisum  12639  arisum2  12640  expcnv  12643  geomulcvg  12653  mertenslem2  12662  ef0lem  12681  efexp  12702  ruclem12  12840  sqr2irr  12848  divalgmod  12926  ndvdsadd  12928  modgcd  13036  gcddiv  13049  gcdmultiple  13050  gcdmultiplez  13051  rpmulgcd  13055  rplpwr  13056  sqgcd  13058  prmind2  13090  qredeq  13106  qredeu  13107  isprm6  13109  divnumden  13140  divdenle  13141  nn0gcdsq  13144  pythagtriplem1  13190  pythagtriplem2  13191  pythagtriplem6  13195  pythagtriplem7  13196  pythagtriplem12  13200  pythagtriplem14  13202  pythagtriplem15  13203  pythagtriplem16  13204  pythagtriplem17  13205  pythagtriplem19  13207  pcqcl  13230  pcexp  13233  pcneg  13247  fldivp1  13266  prmpwdvds  13272  infpnlem2  13279  prmreclem1  13284  prmreclem6  13289  4sqlem19  13331  vdwapun  13342  vdwapid1  13343  mulgnegnn  14900  mulgnnass  14918  odmod  15184  cnfldmulg  16733  prmirredlem  16773  znidomb  16842  znrrg  16846  ovolunlem1  19393  uniioombllem3  19477  vitali  19505  mbfi1fseqlem3  19609  dvexp  19839  dvexp3  19862  plyeq0lem  20129  dgrcolem1  20191  aaliou3lem2  20260  aaliou3lem7  20266  pserdv2  20346  abelthlem6  20352  logtayl  20551  logtaylsum  20552  logtayl2  20553  cxpexp  20559  cxproot  20581  root1id  20638  root1eq1  20639  cxpeq  20641  atantayl  20777  atantayl2  20778  birthdaylem2  20791  dfef2  20809  emcllem2  20835  emcllem3  20836  basellem2  20864  basellem3  20865  basellem5  20867  basellem8  20870  mumul  20964  dvdsdivcl  20966  dvdsflip  20967  fsumdvdscom  20970  muinv  20978  chtublem  20995  perfect  21015  pcbcctr  21060  bclbnd  21064  bposlem1  21068  bposlem6  21073  lgssq  21119  lgssq2  21120  2sqlem6  21153  2sqlem10  21158  rplogsumlem1  21178  dchrmusumlema  21187  dchrmusum2  21188  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmaeq0  21198  dchrisum0re  21207  logdivbnd  21250  cusgrasize2inds  21486  gxnn0neg  21851  ipasslem4  22335  ipasslem5  22336  zetacvg  24799  lgam1  24848  gamfac  24851  subfacp1lem6  24871  subfaclim  24874  snmlff  25016  circum  25111  divcnvlin  25212  iprodgam  25319  faclim  25365  faclim2  25367  nndivsub  26207  mblfinlem2  26244  ovoliunnfl  26248  voliunnfl  26250  nn0prpwlem  26325  irrapxlem1  26885  pellexlem1  26892  pellqrex  26942  2nn0ind  27008  jm2.17c  27027  acongrep  27045  jm2.18  27059  jm2.20nn  27068  jm2.16nn0  27075  hashgcdlem  27493  proot1ex  27497  clim1fr1  27703  wallispilem4  27793  wallispilem5  27794  wallispi  27795  wallispi2lem1  27796  wallispi2lem2  27797  wallispi2  27798  stirlinglem1  27799  stirlinglem3  27801  stirlinglem4  27802  stirlinglem5  27803  stirlinglem6  27804  stirlinglem7  27805  stirlinglem8  27806  stirlinglem10  27808  stirlinglem11  27809  stirlinglem12  27810  stirlinglem13  27811  stirlinglem14  27812  stirlinglem15  27813  subsubelfzo0  28135  modidmul0  28160  cshwidx  28242  cshwidxm  28246  cshwidxn  28247  2cshwmod  28257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001
  Copyright terms: Public domain W3C validator