MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncnd Unicode version

Theorem nncnd 9762
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nncnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncnd
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9751 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3178 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   CCcc 8735   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  facdiv  11300  facndiv  11301  faclbnd  11303  faclbnd5  11311  faclbnd6  11312  facubnd  11313  facavg  11314  bccmpl  11322  bcn0  11323  bcn1  11325  bcm1k  11327  bcp1n  11328  bcp1nk  11329  bcval5  11330  bcpasc  11333  permnn  11336  hashf1  11395  hashfac  11396  wrdeqcats1  11474  binom11  12290  binom1dif  12291  climcndslem2  12309  arisum2  12319  trireciplem  12320  trirecip  12321  geo2sum  12329  geo2lim  12331  eftcl  12355  eftabs  12357  efcllem  12359  ege2le3  12371  efcj  12373  efaddlem  12374  eftlub  12389  eirrlem  12482  sqr2irrlem  12526  oexpneg  12590  bitsp1  12622  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  bitscmp  12629  bitsinv1lem  12632  bitsinv1  12633  2ebits  12638  bitsinvp1  12640  sadcaddlem  12648  sadadd3  12652  bitsres  12664  bitsuz  12665  bitsshft  12666  mulgcd  12725  rplpwr  12735  sqgcd  12737  prmind2  12769  isprm5  12791  prmdvdsexpr  12795  divgcdodd  12798  qmuldeneqnum  12818  divnumden  12819  qnumgt0  12821  numdensq  12825  hashdvds  12843  phiprmpw  12844  prmdiv  12853  prmdivdiv  12855  pythagtriplem4  12872  pythagtriplem6  12874  pythagtriplem7  12875  pythagtriplem14  12881  pythagtriplem15  12882  pythagtriplem19  12886  pythagtrip  12887  pcprendvds2  12894  pcpre1  12895  pcpremul  12896  pceulem  12898  pcdiv  12905  pcqmul  12906  pcelnn  12922  pcid  12925  pc2dvds  12931  pcaddlem  12936  pcadd  12937  pcfaclem  12946  qexpz  12949  expnprm  12950  prmpwdvds  12951  pockthlem  12952  pockthg  12953  infpnlem1  12957  prmreclem1  12963  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem6  12968  4sqlem6  12990  4sqlem7  12991  4sqlem10  12994  mul4sqlem  13000  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem14  13005  4sqlem17  13008  4sqlem18  13009  vdwlem1  13028  vdwlem2  13029  vdwlem3  13030  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  vdwlem9  13036  vdwlem10  13037  vdwlem12  13039  ramub1lem2  13074  ramcl  13076  gsumccat  14464  mulgnndir  14589  mulgnnass  14595  odf1o2  14884  pgp0  14907  sylow1lem1  14909  odcau  14915  sylow2blem3  14933  sylow3lem3  14940  sylow3lem4  14941  gexexlem  15144  ablfacrp2  15302  ablfac1lem  15303  ablfac1eu  15308  pgpfac1lem3a  15311  pgpfac1lem3  15312  zlpirlem3  16443  znrrg  16519  lebnumlem3  18461  ovollb2lem  18847  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  dyaddisjlem  18950  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  dgrcolem1  19654  vieta1lem1  19690  vieta1lem2  19691  elqaalem2  19700  elqaalem3  19701  aalioulem1  19712  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem8  19725  aaliou3lem6  19728  aaliou3lem9  19730  taylfvallem1  19736  tayl0  19741  taylply2  19747  taylply  19748  dvtaylp  19749  taylthlem1  19752  taylthlem2  19753  pserdvlem2  19804  advlogexp  20002  cxpmul2  20036  cxpeq  20097  atantayl3  20235  leibpi  20238  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  birthdaylem2  20247  birthdaylem3  20248  amgmlem  20284  amgm  20285  emcllem5  20293  fsumharmonic  20305  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  basellem1  20318  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem5  20322  basellem8  20325  vmaprm  20355  sgmval2  20381  0sgm  20382  sgmf  20383  vma1  20404  dvdsdivcl  20421  fsumdvdsdiaglem  20423  dvdsflf1o  20427  muinv  20433  dvdsmulf1o  20434  sgmppw  20436  1sgmprm  20438  1sgm2ppw  20439  sgmmul  20440  chtublem  20450  fsumvma2  20453  chpchtsum  20458  logfaclbnd  20461  logexprlim  20464  mersenne  20466  perfect1  20467  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  perfect  20470  dchrsum2  20507  dchrhash  20510  bcmono  20516  bcp1ctr  20518  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem3  20525  bposlem5  20527  bposlem6  20528  lgsval2lem  20545  lgsqrlem2  20581  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem4  20591  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  lgsquad2  20599  m1lgs  20601  2sqlem3  20605  2sqlem4  20606  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1  20621  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem1  20638  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0fno1  20660  rpvmasum2  20661  rplogsum  20676  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem2  20684  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  logsqvma  20691  selberglem2  20695  selberglem3  20696  selberg  20697  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd2  20716  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntlemg  20747  pntlemn  20749  pntlemf  20754  pnt  20763  padicabvf  20780  ostth2lem2  20783  ostth3  20787  ltesubnnd  23033  zetacvg  23689  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem5  23715  subfacval2  23718  subfaclim  23719  cvmliftlem2  23817  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem10  23825  cvmliftlem11  23826  cvmliftlem13  23827  eupares  23899  bpolycl  24787  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  fsumkthpow  24791  nn0prpwlem  26238  nn0prpw  26239  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell1234qrne0  26938  pell1234qrreccl  26939  pell1234qrmulcl  26940  pell1234qrdich  26946  pell14qrdich  26954  pell1qrge1  26955  pell1qr1  26956  pell14qrgapw  26961  rmxyneg  27005  rmxm1  27019  rmxluc  27021  rmxdbl  27024  jm2.19lem1  27082  jm2.27c  27100  psgnunilem5  27417  phisum  27518  clim1fr1  27727  itgsinexplem1  27748  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem10  27832  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator