MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndi Unicode version

Theorem nndi 6637
Description: Distributive law for natural numbers. Theorem 4K(3) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )

Proof of Theorem nndi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
21oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
3 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
43oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
52, 4eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
65imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) ) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
87oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) ) )
9 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
109oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
118, 10eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) ) )
12 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
1312oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  y ) ) )
14 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
1514oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) )
1613, 15eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )
17 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1817oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) ) )
19 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) )
2118, 20eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  <-> 
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
22 nna0 6618 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2322adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2423oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  .o  B
) )
25 nnmcl 6626 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
26 nna0 6618 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .o  B )  e.  om  ->  (
( A  .o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2725, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2824, 27eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
29 nnm0 6619 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
3029adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
3130oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
3228, 31eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
33 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
) )
34 nnasuc 6620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
35343adant1 973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3635oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) ) )
37 nnacl 6625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
38 nnmsuc 6621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  +o  y
)  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3937, 38sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
40393impb 1147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
4136, 40eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
42 nnmsuc 6621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
43423adant2 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
4443oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
45 nnmcl 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
46 nnaass 6636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  om  /\  ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4725, 46syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4845, 47syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
49483exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e. 
om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  e.  om  ->  ( (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
5049exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) ) )
5150pm2.43a 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5251com4r 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5352pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
54533imp 1145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
5544, 54eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) )
5641, 55eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) )  <->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) ) )
5733, 56syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
58573exp 1150 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5958com3r 73 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
6059imp3a 420 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) )
6111, 16, 21, 32, 60finds2 4700 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) ) ) )
626, 61vtoclga 2862 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) )
6362exp3acom3r 1360 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) ) )
64633imp 1145 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   suc csuc 4410   omcom 4672  (class class class)co 5874    +o coa 6492    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  nnmass  6638  distrpi  8538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator