MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivdvds Structured version   Unicode version

Theorem nndivdvds 12858
Description: Strong form of dvdsval2 12855 for natural numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 10303 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
3 nnne0 10032 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  =/=  0 )
5 nnz 10303 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
7 dvdsval2 12855 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
98anbi1d 686 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) )  <-> 
( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
10 nnre 10007 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
12 nnre 10007 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
14 nngt0 10029 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
16 nngt0 10029 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
1716adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
1811, 13, 15, 17divgt0d 9946 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  /  B ) )
1918biantrud 494 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
20 elnnz 10292 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
2120a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
229, 19, 213bitr4d 277 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    < clt 9120    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282    || cdivides 12852
This theorem is referenced by:  isprm6  13109  divnumden  13140  gexexlem  15467  ablfac1lem  15626  pgpfac1lem3a  15634  znrrg  16846  dvdsflf1o  20972  mersenne  21011  perfectlem1  21013  perfect  21015  dchrvmasumlem1  21189  dchrisum0flblem2  21203  logsqvma  21236  jm2.20nn  27068  jm2.27c  27078  hashgcdlem  27493  hashgcdeq  27494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-z 10283  df-dvds 12853
  Copyright terms: Public domain W3C validator