MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivdvds Unicode version

Theorem nndivdvds 12634
Description: Strong form of dvdsval2 12631 for natural numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 10137 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
3 nnne0 9868 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  =/=  0 )
5 nnz 10137 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
7 dvdsval2 12631 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
98anbi1d 685 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) )  <-> 
( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
10 nnre 9843 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1110adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
12 nnre 9843 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
14 nngt0 9865 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
16 nngt0 9865 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
1716adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
1811, 13, 15, 17divgt0d 9782 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  /  B ) )
1918biantrud 493 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
20 elnnz 10126 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
2120a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
229, 19, 213bitr4d 276 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710    =/= wne 2521   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827    < clt 8957    / cdiv 9513   NNcn 9836   ZZcz 10116    || cdivides 12628
This theorem is referenced by:  isprm6  12885  divnumden  12916  gexexlem  15243  ablfac1lem  15402  pgpfac1lem3a  15410  znrrg  16625  dvdsflf1o  20539  mersenne  20578  perfectlem1  20580  perfect  20582  dchrvmasumlem1  20756  dchrisum0flblem2  20770  logsqvma  20803  jm2.20nn  26413  jm2.27c  26423  hashgcdlem  26839  hashgcdeq  26840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-z 10117  df-dvds 12629
  Copyright terms: Public domain W3C validator