Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hoffman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nndivlub Unicode version

Theorem nndivlub 26120
Description: A factor of a natural number cannot exceed it. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivlub  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  ->  B  <_  A )
)

Proof of Theorem nndivlub
StepHypRef Expression
1 nnre 9971 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
2 nngt0 9993 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
31, 2jca 519 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
4 nnre 9971 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
5 nngt0 9993 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
64, 5jca 519 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
7 nnge1 9990 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  NN  ->  1  <_  ( A  /  B
) )
8 lediv2 9864 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( B  <_  A  <->  ( A  /  A )  <_  ( A  /  B ) ) )
983anidm23 1243 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( B  <_  A  <->  ( A  /  A )  <_  ( A  /  B ) ) )
10 recn 9044 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
12 gt0ne0 9457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
13 divid 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  /  A
)  =  1 )
1413breq1d 4190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( A  /  A )  <_  ( A  /  B )  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
1511, 12, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( A  /  A )  <_  ( A  /  B )  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( A  /  A )  <_  ( A  /  B )  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
179, 16bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( B  <_  A  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
187, 17syl5ibr 213 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( A  /  B )  e.  NN  ->  B  <_  A )
)
193, 6, 18syl2anr 465 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  ->  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    < clt 9084    <_ cle 9085    / cdiv 9641   NNcn 9964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965
  Copyright terms: Public domain W3C validator