MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Unicode version

Theorem nndivre 9781
Description: The quotient of a real and a natural number is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 9753 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 9778 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 9479 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1152 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    / cdiv 9423   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  nnrecre  9782  nndivred  9794  fldiv2  10965  zmodcl  10989  iexpcyc  11207  sqrlem7  11734  expcnv  12322  ef01bndlem  12464  sin01bnd  12465  cos01bnd  12466  rpnnen2lem2  12494  rpnnen2lem3  12495  rpnnen2lem4  12496  rpnnen2lem9  12501  fldivp1  12945  ovoliunlem1  18861  dyadf  18946  dyadovol  18948  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  dveflem  19326  plyeq0lem  19592  tangtx  19873  tan4thpi  19882  root1id  20094  root1eq1  20095  root1cj  20096  cxpeq  20097  1cubrlem  20137  atan1  20224  log2tlbnd  20241  log2ublem1  20242  log2ublem2  20243  log2ub  20245  birthdaylem3  20248  birthday  20249  basellem5  20322  basellem8  20325  ppiub  20443  logfac2  20456  dchrptlem1  20503  dchrptlem2  20504  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem9  20531  vmadivsum  20631  dchrisum0lem1a  20635  dchrmusum2  20643  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrvmasumlem  20672  rplogsum  20676  mudivsum  20679  selberg2  20700  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  selbergr  20717  pntlemb  20746  pntlemg  20747  pntlemf  20754  snmlff  23912  sinccvglem  24005  circum  24007  cntrset  25602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator