MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Unicode version

Theorem nndivre 10035
Description: The quotient of a real and a natural number is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10007 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 10032 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 519 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 9733 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1154 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 461 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    / cdiv 9677   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  nnrecre  10036  nndivred  10048  fldiv2  11242  zmodcl  11266  iexpcyc  11485  sqrlem7  12054  expcnv  12643  ef01bndlem  12785  sin01bnd  12786  cos01bnd  12787  rpnnen2lem2  12815  rpnnen2lem3  12816  rpnnen2lem4  12817  rpnnen2lem9  12822  fldivp1  13266  ovoliunlem1  19398  dyadf  19483  dyadovol  19485  mbfi1fseqlem3  19609  mbfi1fseqlem4  19610  dveflem  19863  plyeq0lem  20129  tangtx  20413  tan4thpi  20422  root1id  20638  root1eq1  20639  root1cj  20640  cxpeq  20641  1cubrlem  20681  atan1  20768  log2tlbnd  20785  log2ublem1  20786  log2ublem2  20787  log2ub  20789  birthdaylem3  20792  birthday  20793  basellem5  20867  basellem8  20870  ppiub  20988  logfac2  21001  dchrptlem1  21048  dchrptlem2  21049  bposlem3  21070  bposlem4  21071  bposlem5  21072  bposlem6  21073  bposlem9  21076  vmadivsum  21176  dchrisum0lem1a  21180  dchrmusum2  21188  dchrvmasum2if  21191  dchrvmasumlem2  21192  dchrvmasumiflem1  21195  dchrvmasumiflem2  21196  dchrisum0re  21207  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem1  21210  dchrvmasumlem  21217  rplogsum  21221  mudivsum  21224  selberg2  21245  chpdifbndlem1  21247  selberg3lem1  21251  selbergr  21262  pntlemb  21291  pntlemg  21292  pntlemf  21299  snmlff  25016  sinccvglem  25109  circum  25111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001
  Copyright terms: Public domain W3C validator