MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Unicode version

Theorem nndivre 9797
Description: The quotient of a real and a natural number is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 9769 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 9794 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 518 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 9495 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1152 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 460 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    / cdiv 9439   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  nnrecre  9798  nndivred  9810  fldiv2  10981  zmodcl  11005  iexpcyc  11223  sqrlem7  11750  expcnv  12338  ef01bndlem  12480  sin01bnd  12481  cos01bnd  12482  rpnnen2lem2  12510  rpnnen2lem3  12511  rpnnen2lem4  12512  rpnnen2lem9  12517  fldivp1  12961  ovoliunlem1  18877  dyadf  18962  dyadovol  18964  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  dveflem  19342  plyeq0lem  19608  tangtx  19889  tan4thpi  19898  root1id  20110  root1eq1  20111  root1cj  20112  cxpeq  20113  1cubrlem  20153  atan1  20240  log2tlbnd  20257  log2ublem1  20258  log2ublem2  20259  log2ub  20261  birthdaylem3  20264  birthday  20265  basellem5  20338  basellem8  20341  ppiub  20459  logfac2  20472  dchrptlem1  20519  dchrptlem2  20520  bposlem3  20541  bposlem4  20542  bposlem5  20543  bposlem6  20544  bposlem9  20547  vmadivsum  20647  dchrisum0lem1a  20651  dchrmusum2  20659  dchrvmasum2if  20662  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmasumiflem2  20667  dchrisum0re  20678  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem1  20681  dchrvmasumlem  20688  rplogsum  20692  mudivsum  20695  selberg2  20716  chpdifbndlem1  20718  selberg3lem1  20722  selbergr  20733  pntlemb  20762  pntlemg  20763  pntlemf  20770  snmlff  23927  sinccvglem  24020  circum  24022  cntrset  25705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator