MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Unicode version

Theorem nndivred 9810
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 9797 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   RRcr 8752    / cdiv 9439   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11345  reeftcl  12372  efcllem  12375  eftlub  12405  eirrlem  12498  dvdsmod  12601  bitsfzo  12642  bitsmod  12643  bitscmp  12645  bitsuz  12681  bezoutlem3  12735  hashdvds  12859  prmdiv  12869  odzdvds  12876  pcfaclem  12962  pcfac  12963  pcbc  12964  pockthlem  12968  prmreclem4  12982  odmod  14877  zlpirlem3  16459  prmirredlem  16462  lebnumii  18480  ovoliunlem1  18877  uniioombllem4  18957  dyadss  18965  dyaddisjlem  18966  dyadmaxlem  18968  opnmbllem  18972  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  mbfi1fseqlem6  19091  aaliou3lem9  19746  taylthlem2  19769  advlogexp  20018  leibpilem2  20253  leibpi  20254  leibpisum  20255  birthdaylem3  20264  amgmlem  20300  fsumharmonic  20321  basellem4  20337  dvdsflf1o  20443  fsumfldivdiaglem  20445  logexprlim  20480  pcbcctr  20531  bcp1ctr  20534  bposlem2  20540  bposlem6  20544  lgseisenlem4  20607  lgseisen  20608  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  chebbnd1lem3  20636  chtppilimlem1  20638  vmadivsum  20647  vmadivsumb  20648  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem1  20654  dchrvmasumlem1  20660  dchrvmasum2lem  20661  dchrvmasum2if  20662  dchrvmasumlem2  20663  dchrvmasumlem3  20664  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmasumiflem2  20667  rpvmasum2  20677  dchrisum0lem1  20681  dchrmusumlem  20687  dirith2  20693  mudivsum  20695  mulogsumlem  20696  mulogsum  20697  mulog2sumlem1  20699  mulog2sumlem2  20700  mulog2sumlem3  20701  vmalogdivsum2  20703  vmalogdivsum  20704  2vmadivsumlem  20705  selberglem1  20710  selberglem2  20711  selbergb  20714  selberg2b  20717  logdivbnd  20721  selberg3lem1  20722  selberg3  20724  selberg4lem1  20725  selberg4  20726  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd  20731  pntrsumbnd2  20732  selbergr  20733  selberg3r  20734  selberg4r  20735  pntsf  20738  pntsval2  20741  pntrlog2bndlem2  20743  pntrlog2bndlem4  20745  pntrlog2bndlem5  20746  pntrlog2bndlem6  20748  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntibndlem2  20756  pntlemn  20765  pntlemj  20768  pntlemk  20771  pntlemo  20772  ostth2lem2  20799  subfacval2  23733  subfaclim  23734  cvmliftlem6  23836  cvmliftlem7  23837  cvmliftlem8  23838  cvmliftlem9  23839  cvmliftlem10  23840  faclimlem5  24121  faclimlem6  24122  faclimlem8  24124  faclimlem9  24125  cntrset  25705  pellexlem2  27018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator