MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Unicode version

Theorem nndivred 10040
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 10027 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   RRcr 8981    / cdiv 9669   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11600  reeftcl  12669  efcllem  12672  eftlub  12702  eirrlem  12795  dvdsmod  12898  bitsfzo  12939  bitsmod  12940  bitscmp  12942  bitsuz  12978  bezoutlem3  13032  hashdvds  13156  prmdiv  13166  odzdvds  13173  pcfaclem  13259  pcfac  13260  pcbc  13261  pockthlem  13265  prmreclem4  13279  odmod  15176  zlpirlem3  16762  prmirredlem  16765  lebnumii  18983  ovoliunlem1  19390  uniioombllem4  19470  dyadss  19478  dyaddisjlem  19479  dyadmaxlem  19481  opnmbllem  19485  mbfi1fseqlem1  19599  mbfi1fseqlem3  19601  mbfi1fseqlem4  19602  mbfi1fseqlem5  19603  mbfi1fseqlem6  19604  aaliou3lem9  20259  taylthlem2  20282  advlogexp  20538  leibpilem2  20773  leibpi  20774  leibpisum  20775  birthdaylem3  20784  amgmlem  20820  fsumharmonic  20842  basellem4  20858  dvdsflf1o  20964  fsumfldivdiaglem  20966  logexprlim  21001  pcbcctr  21052  bcp1ctr  21055  bposlem2  21061  bposlem6  21065  lgseisenlem4  21128  lgseisen  21129  lgsquadlem1  21130  lgsquadlem2  21131  chebbnd1lem3  21157  chtppilimlem1  21159  vmadivsum  21168  vmadivsumb  21169  rplogsumlem1  21170  rplogsumlem2  21171  rpvmasumlem  21173  dchrisumlem1  21175  dchrvmasumlem1  21181  dchrvmasum2lem  21182  dchrvmasum2if  21183  dchrvmasumlem2  21184  dchrvmasumlem3  21185  dchrvmasumiflem1  21187  dchrvmasumiflem2  21188  rpvmasum2  21198  dchrisum0lem1  21202  dchrmusumlem  21208  dirith2  21214  mudivsum  21216  mulogsumlem  21217  mulogsum  21218  mulog2sumlem1  21220  mulog2sumlem2  21221  mulog2sumlem3  21222  vmalogdivsum2  21224  vmalogdivsum  21225  2vmadivsumlem  21226  selberglem1  21231  selberglem2  21232  selbergb  21235  selberg2b  21238  logdivbnd  21242  selberg3lem1  21243  selberg3  21245  selberg4lem1  21246  selberg4  21247  pntrsumo1  21251  pntrsumbnd  21252  pntrsumbnd2  21253  selbergr  21254  selberg3r  21255  selberg4r  21256  pntsf  21259  pntsval2  21262  pntrlog2bndlem2  21264  pntrlog2bndlem4  21266  pntrlog2bndlem5  21267  pntrlog2bndlem6  21269  pntpbnd1  21272  pntpbnd2  21273  pntibndlem2  21277  pntlemn  21286  pntlemj  21289  pntlemk  21292  pntlemo  21293  ostth2lem2  21320  lgamgulmlem2  24806  lgamgulmlem3  24807  lgamgulmlem4  24808  lgamgulmlem6  24810  lgamcvg2  24831  regamcl  24837  subfacval2  24865  subfaclim  24866  cvmliftlem6  24969  cvmliftlem7  24970  cvmliftlem8  24971  cvmliftlem9  24972  cvmliftlem10  24973  faclimlem1  25354  faclimlem2  25355  faclimlem3  25356  faclim  25357  iprodfac  25358  faclim2  25359  mblfinlem  26234  pellexlem2  26884  stoweidlem11  27727  stoweidlem26  27742  stoweidlem42  27758  stoweidlem59  27775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator