MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Unicode version

Theorem nndivred 9794
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nndivred.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nndivred  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nndivred.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nndivre 9781 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   RRcr 8736    / cdiv 9423   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  bcp1nk  11329  reeftcl  12356  efcllem  12359  eftlub  12389  eirrlem  12482  dvdsmod  12585  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  bitscmp  12629  bitsuz  12665  bezoutlem3  12719  hashdvds  12843  prmdiv  12853  odzdvds  12860  pcfaclem  12946  pcfac  12947  pcbc  12948  pockthlem  12952  prmreclem4  12966  odmod  14861  zlpirlem3  16443  prmirredlem  16446  lebnumii  18464  ovoliunlem1  18861  uniioombllem4  18941  dyadss  18949  dyaddisjlem  18950  dyadmaxlem  18952  opnmbllem  18956  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  aaliou3lem9  19730  taylthlem2  19753  advlogexp  20002  leibpilem2  20237  leibpi  20238  leibpisum  20239  birthdaylem3  20248  amgmlem  20284  fsumharmonic  20305  basellem4  20321  dvdsflf1o  20427  fsumfldivdiaglem  20429  logexprlim  20464  pcbcctr  20515  bcp1ctr  20518  bposlem2  20524  bposlem6  20528  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem3  20620  chtppilimlem1  20622  vmadivsum  20631  vmadivsumb  20632  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem1  20638  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  rpvmasum2  20661  dchrisum0lem1  20665  dchrmusumlem  20671  dirith2  20677  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selbergb  20698  selberg2b  20701  logdivbnd  20705  selberg3lem1  20706  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd  20715  pntrsumbnd2  20716  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  pntsf  20722  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemn  20749  pntlemj  20752  pntlemk  20755  pntlemo  20756  ostth2lem2  20783  subfacval2  23129  subfaclim  23130  cvmliftlem6  23232  cvmliftlem7  23233  cvmliftlem8  23234  cvmliftlem9  23235  cvmliftlem10  23236  cntrset  25014  pellexlem2  26327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator