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Theorem nndivsub 25921
Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivsub  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivsub
StepHypRef Expression
1 nnre 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnre 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
3 nnre 9939 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
4 nngt0 9961 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
53, 4jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
6 ltdiv1 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
71, 2, 5, 6syl3an 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
8 nnsub 9970 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( A  /  C )  < 
( B  /  C
)  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
97, 8sylan9bb 681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
109biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
1110exp32 589 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( ( B  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1211com34 79 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1312imp32 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
14 nnaddcl 9954 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  /\  ( A  /  C )  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN )
1514expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( A  /  C )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN ) )
16 nnsscn 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  CC
17 nnne0 9964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  NN  ->  C  =/=  0 )
18 divcl 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
1916, 17, 18nnssi2 25919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  C
)  e.  CC )
20 divcl 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
2116, 17, 20nnssi2 25919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C
)  e.  CC )
2219, 21anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN ) )  -> 
( ( A  /  C )  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
23223impdir 1240 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
24 npcan 9246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  C
)  e.  CC  /\  ( A  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2524ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  =  ( B  /  C
) )
2726eleq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  <->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2827biimpd 199 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2915, 28sylan9r 640 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( A  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3029adantrr 698 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  /  C
)  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3113, 30impbid 184 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
32 nncn 9940 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
33323ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
34 nncn 9940 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
35343ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
36 nncn 9940 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
3736, 17jca 519 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
38373ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
39 divsubdir 9642 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  -  A )  /  C
)  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) ) )
4033, 35, 38, 39syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  -  A
)  /  C )  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) ) )
4140eleq1d 2453 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  -  A )  /  C
)  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4241adantr 452 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  -  A
)  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4331, 42bitr4d 248 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923    + caddc 8926    < clt 9053    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932
This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  25925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933
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