Theorem nndivt 5961

Description: Two ways to express "A divides B" for natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
nndivt	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (E.x e. NN (A x. x) = B <-> (B / A) e. NN))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nndivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0t 5951	. . 3 |- (A e. NN -> A =/= 0)
2	1	adantr 391	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> A =/= 0)
3		divcan3t 5763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A x. x) / A) = x)
4	3	3coml 842	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ A =/= 0 /\ x e. CC) -> ((A x. x) / A) = x)
5	4	3expa 835	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. CC) -> ((A x. x) / A) = x)
6		nncnt 5932	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. NN -> x e. CC)
7	5, 6	sylan2 453	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. NN) -> ((A x. x) / A) = x)
8	7	3adantl2 806	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. NN) -> ((A x. x) / A) = x)
9		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- ((A x. x) = B -> ((A x. x) / A) = (B / A))
10	8, 9	sylan9req 1531	. . . . . . . 8 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. NN) /\ (A x. x) = B) -> x = (B / A))
11		simplr 415	. . . . . . . 8 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. NN) /\ (A x. x) = B) -> x e. NN)
12	10, 11	eqeltrrd 1552	. . . . . . 7 |- ((((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) /\ x e. NN) /\ (A x. x) = B) -> (B / A) e. NN)
13	12	exp31 378	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) -> (x e. NN -> ((A x. x) = B -> (B / A) e. NN)))
14	13	r19.23adv 1749	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) -> (E.x e. NN (A x. x) = B -> (B / A) e. NN))
15		divcan2t 5733	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (A x. (B / A)) = B)
16	15	3com12 839	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) -> (A x. (B / A)) = B)
17		opreq2 3975	. . . . . . . . 9 |- (x = (B / A) -> (A x. x) = (A x. (B / A)))
18	17	eqeq1d 1486	. . . . . . . 8 |- (x = (B / A) -> ((A x. x) = B <-> (A x. (B / A)) = B))
19	18	rcla4ev 1880	. . . . . . 7 |- (((B / A) e. NN /\ (A x. (B / A)) = B) -> E.x e. NN (A x. x) = B)
20	19	expcom 374	. . . . . 6 |- ((A x. (B / A)) = B -> ((B / A) e. NN -> E.x e. NN (A x. x) = B))
21	16, 20	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) -> ((B / A) e. NN -> E.x e. NN (A x. x) = B))
22	14, 21	impbid 518	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ A =/= 0) -> (E.x e. NN (A x. x) = B <-> (B / A) e. NN))
23	22	3expia 837	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A =/= 0 -> (E.x e. NN (A x. x) = B <-> (B / A) e. NN)))
24		nncnt 5932	. . 3 |- (A e. NN -> A e. CC)
25		nncnt 5932	. . 3 |- (B e. NN -> B e. CC)
26	23, 24, 25	syl2an 456	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A =/= 0 -> (E.x e. NN (A x. x) = B <-> (B / A) e. NN)))
27	2, 26	mpd 26	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (E.x e. NN (A x. x) = B <-> (B / A) e. NN))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927

Copyright terms: Public domain