Theorem nnecl 4237

Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
nnecl	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Proof of Theorem nnecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = (/) -> (A ^o x) = (A ^o (/)))
2	1	eleq1d 1543	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o (/)) e. om))
3	2	imbi2d 614	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)))
4		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = y -> (A ^o x) = (A ^o y))
5	4	eleq1d 1543	. . . 4 |- (x = y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o y) e. om))
6	5	imbi2d 614	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o y) e. om)))
7		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = suc y -> (A ^o x) = (A ^o suc y))
8	7	eleq1d 1543	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o suc y) e. om))
9	8	imbi2d 614	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
10		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = B -> (A ^o x) = (A ^o B))
11	10	eleq1d 1543	. . . 4 |- (x = B -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o B) e. om))
12	11	imbi2d 614	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o B) e. om)))
13		nnont 3144	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
14		oe0 4167	. . . . 5 |- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)
15	13, 14	syl 10	. . . 4 |- (A e. om -> (A ^o (/)) = 1o)
16		df-1o 4139	. . . . 5 |- 1o = suc (/)
17		peano1 3155	. . . . . 6 |- (/) e. om
18		peano2 3156	. . . . . 6 |- ((/) e. om -> suc (/) e. om)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . 5 |- suc (/) e. om
20	16, 19	eqeltr 1547	. . . 4 |- 1o e. om
21	15, 20	syl6eqel 1559	. . 3 |- (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)
22		oesuc 4172	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
23		nnont 3144	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> y e. On)
24	22, 13, 23	syl2an 456	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
25	24	eleq1d 1543	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A ^o suc y) e. om <-> ((A ^o y) .o A) e. om))
26		nnmcl 4236	. . . . . . . . 9 |- (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> ((A ^o y) .o A) e. om)
27	25, 26	syl5bir 210	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> (A ^o suc y) e. om))
28	27	exp4b 381	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (y e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
29	28	com24 37	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
30	29	pm2.43i 64	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
31	30	com3r 35	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
32	31	a2d 13	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (A ^o y) e. om) -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	finds 3162	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A ^o B) e. om))
34	33	impcom 351	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283  Oncon0 2954  suc csuc 2956  omcom 3137  (class class class)co 3969  1oc1o 4134   .o comu 4137   ^o coe 4138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-oexp 4143

Copyright terms: Public domain