MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnecl Structured version   Unicode version

Theorem nnecl 6849
Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnecl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
21eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  ^o  x
)  e.  om  <->  ( A  ^o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  ^o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
54eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x )  e.  om  <->  ( A  ^o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
76eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  x
)  e.  om  <->  ( A  ^o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 6082 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
98eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  x )  e.  om  <->  ( A  ^o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nnon 4844 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
11 oe0 6759 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
13 df-1o 6717 . . . . . 6  |-  1o  =  suc  (/)
14 peano1 4857 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
15 peano2 4858 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  om
1713, 16eqeltri 2506 . . . . 5  |-  1o  e.  om
1812, 17syl6eqel 2524 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  (/) )  e.  om )
19 nnmcl 6848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  e.  om )
2019expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  ^o  y
)  e.  om  ->  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  e.  om ) )
2120adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  y )  e.  om  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  e.  om )
)
22 nnesuc 6844 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  suc  y )  e.  om  <->  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  e.  om ) )
2421, 23sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  y )  e.  om  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  om ) )
2524expcom 425 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  ^o  y
)  e.  om  ->  ( A  ^o  suc  y
)  e.  om )
) )
265, 7, 9, 18, 25finds2 4866 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  x )  e.  om ) )
273, 26vtoclga 3010 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  B )  e.  om ) )
2827impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3621   Oncon0 4574   suc csuc 4576   omcom 4838  (class class class)co 6074   1oc1o 6710    .o comu 6715    ^o coe 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-omul 6722  df-oexp 6723
  Copyright terms: Public domain W3C validator