MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Unicode version

Theorem nnenom 11042
Description: The set of natural numbers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom  |-  NN  ~~  om

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 7344 . . 3  |-  om  e.  _V
2 nn0ex 9971 . . 3  |-  NN0  e.  _V
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
43hashgf1o 11033 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1oen2g 6878 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0 )  ->  om  ~~  NN0 )
61, 2, 4, 5mp3an 1277 . 2  |-  om  ~~  NN0
7 nn0ennn 11041 . 2  |-  NN0  ~~  NN
86, 7entr2i 6916 1  |-  NN  ~~  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ~~ cen 6860   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  supcvg  12314  xpnnen  12487  xpomenOLD  12489  znnen  12491  qnnen  12492  rexpen  12506  aleph1re  12523  aleph1irr  12524  bitsf1  12637  unben  12956  odinf  14876  odhash  14885  cygctb  15178  1stcfb  17171  2ndcredom  17176  1stcelcls  17187  hauspwdom  17227  met1stc  18067  met2ndci  18068  re2ndc  18307  iscmet3  18719  ovolctb2  18851  ovolfi  18853  ovoliunlem3  18863  iunmbl2  18914  uniiccdif  18933  dyadmbl  18955  opnmblALT  18958  mbfimaopnlem  19010  itg2seq  19097  aannenlem3  19710  dirith2  20677  nmounbseqi  21355  nmobndseqi  21357  minvecolem5  21460  nnct  23335  dmvlsiga  23490  heiborlem3  26537  heibor  26545  lzenom  26849  fiphp3d  26902  irrapx1  26913  pellex  26920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator