MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Unicode version

Theorem nnenom 11247
Description: The set of natural numbers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom  |-  NN  ~~  om

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 7532 . . 3  |-  om  e.  _V
2 nn0ex 10160 . . 3  |-  NN0  e.  _V
3 eqid 2388 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
43hashgf1o 11238 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1oen2g 7061 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0 )  ->  om  ~~  NN0 )
61, 2, 4, 5mp3an 1279 . 2  |-  om  ~~  NN0
7 nn0ennn 11246 . 2  |-  NN0  ~~  NN
86, 7entr2i 7099 1  |-  NN  ~~  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   omcom 4786    |` cres 4821   -1-1-onto->wf1o 5394  (class class class)co 6021   reccrdg 6604    ~~ cen 7043   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927   NNcn 9933   NN0cn0 10154
This theorem is referenced by:  supcvg  12563  xpnnen  12736  xpomenOLD  12738  znnen  12740  qnnen  12741  rexpen  12755  aleph1re  12772  aleph1irr  12773  bitsf1  12886  unben  13205  odinf  15127  odhash  15136  cygctb  15429  1stcfb  17430  2ndcredom  17435  1stcelcls  17446  hauspwdom  17486  met1stc  18442  met2ndci  18443  re2ndc  18704  iscmet3  19118  ovolctb2  19256  ovolfi  19258  ovoliunlem3  19268  iunmbl2  19319  uniiccdif  19338  dyadmbl  19360  opnmblALT  19363  mbfimaopnlem  19415  itg2seq  19502  aannenlem3  20115  dirith2  21090  nmounbseqi  22127  nmobndseqi  22129  minvecolem5  22232  nnct  23941  dmvlsiga  24309  volmeas  24382  ovoliunnfl  25954  heiborlem3  26214  heibor  26222  lzenom  26520  fiphp3d  26572  irrapx1  26583  pellex  26590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422
  Copyright terms: Public domain W3C validator