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Theorem nneo 10111
Description: A natural number is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nneo
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 9770 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 9000 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cn 9832 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 9845 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
83, 5, 7divcan2d 9554 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
91, 5, 7divcan2d 9554 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
109oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
118, 10eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
12 nnz 10061 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 10061 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
14 zneo 10110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1512, 13, 14syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  ( N  /  2
)  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1615expcom 424 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1716necon2bd 2508 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
1811, 17syl5com 26 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
19 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 ) )
2120eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
1  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
j  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
2322eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( 1  /  2 )  e.  NN ) )
2421, 23orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( 1  /  2
)  e.  NN ) ) )
25 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2625oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
2726eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
28 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
j  /  2 )  =  ( k  / 
2 ) )
2928eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( k  /  2 )  e.  NN ) )
3027, 29orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN ) ) )
31 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3231oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
3332eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
34 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
3534eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
3633, 35orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
37 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3837oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
3938eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
40 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
j  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
4140eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
4239, 41orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) ) )
43 df-2 9820 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4443oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
)
454, 6dividi 9509 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4644, 45eqtr3i 2318 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  1
47 1nn 9773 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4846, 47eqeltri 2366 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN
4948orci 379 . . . 4  |-  ( ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  (
1  /  2 )  e.  NN )
50 peano2nn 9774 . . . . . . 7  |-  ( ( k  /  2 )  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  +  1 )  e.  NN )
51 nncn 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
52 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
53 addass 8840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5452, 52, 53mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5543oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  +  2 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) )
5654, 55syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  2 ) )
5756oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  2 )  / 
2 ) )
584, 6pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
59 divdir 9463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( k  +  2 )  / 
2 )  =  ( ( k  /  2
)  +  ( 2  /  2 ) ) )
604, 58, 59mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  /  2
) ) )
6145oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( k  / 
2 )  +  1 )
6260, 61syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6357, 62eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6451, 63syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6564eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  /  2 )  +  1 )  e.  NN ) )
6650, 65syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
6766orim2d 813 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
68 orcom 376 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) )
6967, 68syl6ib 217 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
7024, 30, 36, 42, 49, 69nnind 9780 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) )
7170ord 366 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
7218, 71impbid 183 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  nneoi  10112  zeo  10113  ovolunlem1a  18871  ovolunlem1  18872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041
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