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Theorem nneo 10095
Description: A natural number is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nneo
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 9754 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 8984 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 9829 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
83, 5, 7divcan2d 9538 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
91, 5, 7divcan2d 9538 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
109oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
118, 10eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
12 nnz 10045 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 10045 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
14 zneo 10094 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1512, 13, 14syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  ( N  /  2
)  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1615expcom 424 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1716necon2bd 2495 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
1811, 17syl5com 26 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
19 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 ) )
2120eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
1  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
j  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
2322eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( 1  /  2 )  e.  NN ) )
2421, 23orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( 1  /  2
)  e.  NN ) ) )
25 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2625oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
2726eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
28 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
j  /  2 )  =  ( k  / 
2 ) )
2928eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( k  /  2 )  e.  NN ) )
3027, 29orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN ) ) )
31 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3231oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
3332eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
34 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
3534eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
3633, 35orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
37 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3837oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
3938eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
40 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
j  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
4140eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
4239, 41orbi12d 690 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) ) )
43 df-2 9804 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4443oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
)
454, 6dividi 9493 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4644, 45eqtr3i 2305 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  1
47 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4846, 47eqeltri 2353 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN
4948orci 379 . . . 4  |-  ( ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  (
1  /  2 )  e.  NN )
50 peano2nn 9758 . . . . . . 7  |-  ( ( k  /  2 )  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  +  1 )  e.  NN )
51 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
52 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
53 addass 8824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5452, 52, 53mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5543oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  +  2 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) )
5654, 55syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  2 ) )
5756oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  2 )  / 
2 ) )
584, 6pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
59 divdir 9447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( k  +  2 )  / 
2 )  =  ( ( k  /  2
)  +  ( 2  /  2 ) ) )
604, 58, 59mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  /  2
) ) )
6145oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( k  / 
2 )  +  1 )
6260, 61syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6357, 62eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6451, 63syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6564eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  /  2 )  +  1 )  e.  NN ) )
6650, 65syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
6766orim2d 813 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
68 orcom 376 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) )
6967, 68syl6ib 217 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
7024, 30, 36, 42, 49, 69nnind 9764 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) )
7170ord 366 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
7218, 71impbid 183 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  nneoi  10096  zeo  10097  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025
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