MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneob Unicode version

Theorem nneob 6666
Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneob  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nneob
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( 2o  .o  x )  =  ( 2o  .o  y
) )
21eqeq2d 2307 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  =  ( 2o  .o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  y
) ) )
32cbvrexv 2778 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y ) )
4 nnneo 6665 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
543com23 1157 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
653expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o 
.o  y ) )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) )
76nrexdv 2659 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
87rexlimiva 2675 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
93, 8sylbi 187 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
10 suceq 4473 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
1110eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( suc  y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1211rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1312notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
14 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1514rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x ) ) )
1613, 15imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
17 suceq 4473 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  suc  y  =  suc  z )
1817eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
1918rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2019notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
21 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2221rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2320, 22imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
24 suceq 4473 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  ->  suc  y  =  suc  suc  z )
2524eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2625rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2726notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
28 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2928rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3027, 29imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) ) )
31 suceq 4473 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  suc  y  =  suc  A )
3231eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3332rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3433notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
35 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3635rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3734, 36imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
38 peano1 4691 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
39 eqid 2296 . . . . 5  |-  (/)  =  (/)
40 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  ( 2o  .o  (/) ) )
41 om0x 6534 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
.o  (/) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  (/) )
4342eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  (/) ) )
4443rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
4538, 39, 44mp2an 653 . . . 4  |-  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x )
4645a1i 10 . . 3  |-  ( -. 
E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
471eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  y
) ) )
4847cbvrexv 2778 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y ) )
49 peano2 4692 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
50 2onn 6654 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
51 nnmsuc 6621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o  .o  y
)  +o  2o ) )
5250, 51mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o 
.o  y )  +o  2o ) )
53 df-2o 6496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
5453oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )
55 nnmcl 6626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  y
)  e.  om )
5650, 55mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e. 
om )
57 1onn 6653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
58 nnasuc 6620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )  =  suc  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o ) )
5956, 57, 58sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  suc  1o )  =  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o ) )
6054, 59syl5req 2341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o ) )
61 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e.  On )
62 oa1suc 6546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  On  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
6356, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
64 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y )  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6652, 60, 653eqtr2rd 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  suc  ( 2o  .o  y
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
67 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 2o  .o  x
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
6867eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  suc  ( 2o 
.o  y )  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) ) )
6968rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
7049, 66, 69syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
71 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  z  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
72 suceq 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  z  =  suc  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7473eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7574rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7670, 75syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7776rexlimiv 2674 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) )
7877a1i 10 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7948, 78syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
8079con3d 125 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
81 con1 120 . . . 4  |-  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
8280, 81syl9 66 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
8316, 23, 30, 37, 46, 82finds 4698 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
849, 83impbid2 195 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   (/)c0 3468   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    +o coa 6492    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator