MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnex Unicode version

Theorem nnex 9768
Description: The set of natural numbers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnex  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnex
StepHypRef Expression
1 cnex 8834 . 2  |-  CC  e.  _V
2 nnsscn 9767 . 2  |-  NN  C_  CC
31, 2ssexi 4175 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   CCcc 8751   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  dfnn2  9775  nn0ex  9987  nn0ennn  11057  isercolllem2  12155  supcvg  12330  trireciplem  12336  expcnv  12338  geo2lim  12347  xpnnenOLD  12504  qnnen  12508  rpnnen2lem1  12509  rpnnen2lem2  12510  rpnnen  12521  rucALT  12524  unbenlem  12971  vdwapfval  13034  vdwapf  13035  vdwlem6  13049  vdwlem7  13050  vdwlem8  13051  vdwlem11  13054  ndxarg  13184  odval  14865  odf  14868  gexval  14905  ablfac1b  15321  pnrmopn  17087  1stcfb  17187  hausmapdom  17242  met1stc  18083  met2ndci  18084  rectbntr0  18353  metcld2  18748  elovolm  18850  elovolmr  18851  ovolmge0  18852  ovolgelb  18855  ovolctb  18865  ovol0  18868  ovolunlem1a  18871  ovolunlem1  18872  ovoliunlem1  18877  ovoliunlem2  18878  ovolshftlem2  18885  ovolicc2  18897  ioombl1  18935  mbfimaopnlem  19026  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem6  19091  mbfi1flimlem  19093  mbfmullem2  19095  itg2monolem1  19121  itg2addlem  19129  plyeq0lem  19608  leibpi  20254  dfef2  20281  emcllem4  20308  emcllem6  20310  emcllem7  20311  basellem6  20339  basellem7  20340  basellem8  20341  basellem9  20342  vmaval  20367  vmaf  20373  sqff1o  20436  0sgmppw  20453  dchrisumlem3  20656  dirith2  20693  nmounbseqiOLD  21372  nmobndseqiOLD  21374  h2hcau  21575  h2hlm  21576  hcau  21779  hlimi  21783  hlimadd  21788  hhcms  21798  isch2  21819  chlimi  21830  hlim0  21831  hhsscms  21872  lmdvg  23391  esumpcvgval  23461  esumcvg  23469  measiun  23560  iseupa  23896  sinccvglem  24020  circum  24022  faclimlem5  24121  colinearex  24755  cntrset  25705  1iskle  26092  phckle  26130  psckle  26131  lmclim2  26577  geomcau  26578  rrncmslem  26659  eldioph3b  26947  lzenom  26952  diophin  26955  diophun  26956  pellexlem3  27019  pellexlem4  27020  pellexlem5  27021  clim1fr1  27830  wallispilem5  27921  wallispi  27922  stirlinglem1  27926  stirlinglem8  27933  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator