MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnex Unicode version

Theorem nnex 9752
Description: The set of natural numbers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnex  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnex
StepHypRef Expression
1 cnex 8818 . 2  |-  CC  e.  _V
2 nnsscn 9751 . 2  |-  NN  C_  CC
31, 2ssexi 4159 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   CCcc 8735   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  dfnn2  9759  nn0ex  9971  nn0ennn  11041  isercolllem2  12139  supcvg  12314  trireciplem  12320  expcnv  12322  geo2lim  12331  xpnnenOLD  12488  qnnen  12492  rpnnen2lem1  12493  rpnnen2lem2  12494  rpnnen  12505  rucALT  12508  unbenlem  12955  vdwapfval  13018  vdwapf  13019  vdwlem6  13033  vdwlem7  13034  vdwlem8  13035  vdwlem11  13038  ndxarg  13168  odval  14849  odf  14852  gexval  14889  ablfac1b  15305  pnrmopn  17071  1stcfb  17171  hausmapdom  17226  met1stc  18067  met2ndci  18068  rectbntr0  18337  metcld2  18732  elovolm  18834  elovolmr  18835  ovolmge0  18836  ovolgelb  18839  ovolctb  18849  ovol0  18852  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem2  18862  ovolshftlem2  18869  ovolicc2  18881  ioombl1  18919  mbfimaopnlem  19010  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem6  19075  mbfi1flimlem  19077  mbfmullem2  19079  itg2monolem1  19105  itg2addlem  19113  plyeq0lem  19592  leibpi  20238  dfef2  20265  emcllem4  20292  emcllem6  20294  emcllem7  20295  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem8  20325  basellem9  20326  vmaval  20351  vmaf  20357  sqff1o  20420  0sgmppw  20437  dchrisumlem3  20640  dirith2  20677  nmounbseqiOLD  21356  nmobndseqiOLD  21358  h2hcau  21559  h2hlm  21560  hcau  21763  hlimi  21767  hlimadd  21772  hhcms  21782  isch2  21803  chlimi  21814  hlim0  21815  hhsscms  21856  lmdvg  23376  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  measiun  23545  iseupa  23881  sinccvglem  24005  circum  24007  colinearex  24683  cntrset  25602  1iskle  25989  phckle  26027  psckle  26028  lmclim2  26474  geomcau  26475  rrncmslem  26556  eldioph3b  26844  lzenom  26849  diophin  26852  diophun  26853  pellexlem3  26916  pellexlem4  26917  pellexlem5  26918  clim1fr1  27727  wallispilem5  27818  wallispi  27819  stirlinglem1  27823  stirlinglem8  27830  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator