MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnex Structured version   Unicode version

Theorem nnex 10044
Description: The set of natural numbers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnex  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnex
StepHypRef Expression
1 cnex 9109 . 2  |-  CC  e.  _V
2 nnsscn 10043 . 2  |-  NN  C_  CC
31, 2ssexi 4383 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1728   _Vcvv 2965   CCcc 9026   NNcn 10038
This theorem is referenced by:  dfnn2  10051  nn0ex  10265  nn0ennn  11356  isercolllem2  12497  supcvg  12673  trireciplem  12679  expcnv  12681  geo2lim  12690  xpnnenOLD  12847  qnnen  12851  rpnnen2lem1  12852  rpnnen2lem2  12853  rpnnen  12864  rucALT  12867  unbenlem  13314  vdwapfval  13377  vdwapf  13378  vdwlem6  13392  vdwlem7  13393  vdwlem8  13394  vdwlem11  13397  ndxarg  13527  odval  15210  odf  15213  gexval  15250  ablfac1b  15666  pnrmopn  17445  1stcfb  17546  hausmapdom  17601  met1stc  18589  met2ndci  18590  rectbntr0  18901  metcld2  19297  elovolm  19409  elovolmr  19410  ovolmge0  19411  ovolgelb  19414  ovolctb  19424  ovol0  19427  ovolunlem1a  19430  ovolunlem1  19431  ovoliunlem1  19436  ovoliunlem2  19437  ovolshftlem2  19444  ovolicc2  19456  ioombl1  19494  mbfimaopnlem  19583  itg1climres  19642  mbfi1fseqlem6  19648  mbfi1flimlem  19650  mbfmullem2  19652  itg2monolem1  19678  itg2addlem  19686  plyeq0lem  20167  leibpi  20820  dfef2  20847  emcllem4  20875  emcllem6  20877  emcllem7  20878  basellem6  20906  basellem7  20907  basellem8  20908  basellem9  20909  vmaval  20934  vmaf  20940  sqff1o  21003  0sgmppw  21020  dchrisumlem3  21223  dirith2  21260  iseupa  21725  nmounbseqiOLD  22317  nmobndseqiOLD  22319  h2hcau  22520  h2hlm  22521  hcau  22724  hlimi  22728  hlimadd  22733  hhcms  22743  isch2  22764  chlimi  22775  hlim0  22776  hhsscms  22817  lmdvg  24373  esumfsup  24495  esumpcvgval  24503  esumcvg  24511  measiun  24607  voliune  24620  lgamgulmlem6  24853  lgamcvg2  24874  sinccvglem  25144  circum  25146  divcnvlin  25247  faclimlem2  25398  faclim2  25402  colinearex  26029  voliunnfl  26290  volsupnfl  26291  lmclim2  26506  geomcau  26507  rrncmslem  26583  eldioph3b  26935  lzenom  26940  diophin  26943  diophun  26944  pellexlem3  27006  pellexlem4  27007  pellexlem5  27008  clim1fr1  27815  wallispilem5  27906  wallispi  27907  stirlinglem1  27911  stirlinglem8  27918  stirlinglem14  27924  stirlinglem15  27925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-nn 10039
  Copyright terms: Public domain W3C validator