MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexALT Unicode version

Theorem nnexALT 9934
Description: The set of natural numbers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nnexALT  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnexALT
StepHypRef Expression
1 df-nn 9933 . 2  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 rdgfun 6610 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )
3 omex 7531 . . 3  |-  om  e.  _V
4 funimaexg 5470 . . 3  |-  ( ( Fun  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 ) " om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2457 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    e. cmpt 4207   omcom 4785   "cima 4821   Fun wfun 5388  (class class class)co 6020   reccrdg 6603   1c1 8924    + caddc 8926   NNcn 9932
This theorem is referenced by:  zexALT  10232  qexALT  10521  rpnnen1lem1  10532  rpnnen1lem3  10534  rpnnen1lem4  10535  rpnnen1lem5  10536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-nn 9933
  Copyright terms: Public domain W3C validator