MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexALT Structured version   Unicode version

Theorem nnexALT 9994
Description: The set of natural numbers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nnexALT  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnexALT
StepHypRef Expression
1 df-nn 9993 . 2  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 rdgfun 6666 . . 3  |-  Fun  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )
3 omex 7590 . . 3  |-  om  e.  _V
4 funimaexg 5522 . . 3  |-  ( ( Fun  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 ) " om )  e.  _V )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  e.  _V
61, 5eqeltri 2505 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258   omcom 4837   "cima 4873   Fun wfun 5440  (class class class)co 6073   reccrdg 6659   1c1 8983    + caddc 8985   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  zexALT  10292  qexALT  10581  rpnnen1lem1  10592  rpnnen1lem3  10594  rpnnen1lem4  10595  rpnnen1lem5  10596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator