MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Unicode version

Theorem nnexpcl 11116
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9751 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 9769 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 9757 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11114 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  digit1  11235  nnexpcld  11266  faclbnd4lem3  11308  faclbnd5  11311  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  harmonic  12317  geo2sum  12329  geo2lim  12331  ege2le3  12371  eftlub  12389  ef01bndlem  12464  xpnnenOLD  12488  phiprmpw  12844  pcdvdsb  12921  pcmptcl  12939  pcfac  12947  pockthi  12954  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  modxai  13083  1259lem5  13133  2503lem3  13137  4001lem4  13142  ovollb2lem  18847  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem3  18863  dyadf  18946  dyadovol  18948  dyadss  18949  dyaddisjlem  18950  dyadmaxlem  18952  opnmbllem  18956  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  aalioulem1  19712  aaliou2b  19721  aaliou3lem9  19730  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem1  20242  log2ublem2  20243  log2ub  20245  vmappw  20354  sgmnncl  20385  dvdsppwf1o  20426  0sgmppw  20437  1sgm2ppw  20439  vmasum  20455  mersenne  20466  perfect1  20467  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  perfect  20470  pcbcctr  20515  bclbnd  20519  bposlem2  20524  bposlem6  20528  bposlem8  20530  chebbnd1lem1  20618  rplogsumlem2  20634  ostth2lem3  20784  ostth3  20787  zetacvg  23689  cntrset  25602  heiborlem3  26537  heiborlem5  26539  heiborlem6  26540  heiborlem7  26541  heiborlem8  26542  heibor  26545  stoweidlem25  27774  stoweidlem45  27794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator