MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Unicode version

Theorem nnexpcl 11396
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10007 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 10025 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 10013 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11394 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ^cexp 11384
This theorem is referenced by:  digit1  11515  nnexpcld  11546  faclbnd4lem3  11588  faclbnd5  11591  climcndslem1  12631  climcndslem2  12632  climcnds  12633  harmonic  12640  geo2sum  12652  geo2lim  12654  ege2le3  12694  eftlub  12712  ef01bndlem  12787  xpnnenOLD  12811  phiprmpw  13167  pcdvdsb  13244  pcmptcl  13262  pcfac  13270  pockthi  13277  prmreclem3  13288  prmreclem5  13290  prmreclem6  13291  modxai  13406  1259lem5  13456  2503lem3  13460  4001lem4  13465  ovollb2lem  19386  ovoliunlem1  19400  ovoliunlem3  19402  dyadf  19485  dyadovol  19487  dyadss  19488  dyaddisjlem  19489  dyadmaxlem  19491  opnmbllem  19495  mbfi1fseqlem1  19609  mbfi1fseqlem3  19611  mbfi1fseqlem4  19612  mbfi1fseqlem5  19613  mbfi1fseqlem6  19614  aalioulem1  20251  aaliou2b  20260  aaliou3lem9  20269  log2cnv  20786  log2tlbnd  20787  log2ublem1  20788  log2ublem2  20789  log2ub  20791  vmappw  20901  sgmnncl  20932  dvdsppwf1o  20973  0sgmppw  20984  1sgm2ppw  20986  vmasum  21002  mersenne  21013  perfect1  21014  perfectlem1  21015  perfectlem2  21016  perfect  21017  pcbcctr  21062  bclbnd  21066  bposlem2  21071  bposlem6  21075  bposlem8  21077  chebbnd1lem1  21165  rplogsumlem2  21181  ostth2lem3  21331  ostth3  21334  zetacvg  24801  faclim2  25369  opnmbllem0  26244  heiborlem3  26524  heiborlem5  26526  heiborlem6  26527  heiborlem7  26528  heiborlem8  26529  heibor  26532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-exp 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator