MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Unicode version

Theorem nnexpcl 11132
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9767 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 9785 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 9773 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11130 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  digit1  11251  nnexpcld  11282  faclbnd4lem3  11324  faclbnd5  11327  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  climcnds  12326  harmonic  12333  geo2sum  12345  geo2lim  12347  ege2le3  12387  eftlub  12405  ef01bndlem  12480  xpnnenOLD  12504  phiprmpw  12860  pcdvdsb  12937  pcmptcl  12955  pcfac  12963  pockthi  12970  prmreclem3  12981  prmreclem5  12983  prmreclem6  12984  modxai  13099  1259lem5  13149  2503lem3  13153  4001lem4  13158  ovollb2lem  18863  ovoliunlem1  18877  ovoliunlem3  18879  dyadf  18962  dyadovol  18964  dyadss  18965  dyaddisjlem  18966  dyadmaxlem  18968  opnmbllem  18972  mbfi1fseqlem1  19086  mbfi1fseqlem3  19088  mbfi1fseqlem4  19089  mbfi1fseqlem5  19090  mbfi1fseqlem6  19091  aalioulem1  19728  aaliou2b  19737  aaliou3lem9  19746  log2cnv  20256  log2tlbnd  20257  log2ublem1  20258  log2ublem2  20259  log2ub  20261  vmappw  20370  sgmnncl  20401  dvdsppwf1o  20442  0sgmppw  20453  1sgm2ppw  20455  vmasum  20471  mersenne  20482  perfect1  20483  perfectlem1  20484  perfectlem2  20485  perfect  20486  pcbcctr  20531  bclbnd  20535  bposlem2  20540  bposlem6  20544  bposlem8  20546  chebbnd1lem1  20634  rplogsumlem2  20650  ostth2lem3  20800  ostth3  20803  zetacvg  23704  faclimlem9  24125  cntrset  25705  heiborlem3  26640  heiborlem5  26642  heiborlem6  26643  heiborlem7  26644  heiborlem8  26645  heibor  26648  stoweidlem25  27877  stoweidlem45  27897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator