MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Unicode version

Theorem nnexpcld 11472
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nnexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 nnexpcl 11322 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   NNcn 9933   NN0cn0 10154   ^cexp 11310
This theorem is referenced by:  bitsp1  12871  bitsfzolem  12874  bitsfzo  12875  bitsmod  12876  bitsfi  12877  bitscmp  12878  bitsinv1lem  12881  bitsinv1  12882  2ebits  12887  bitsinvp1  12889  sadcaddlem  12897  sadadd3  12901  sadaddlem  12906  sadasslem  12910  bitsres  12913  bitsuz  12914  bitsshft  12915  smumullem  12932  smumul  12933  rplpwr  12984  rppwr  12985  pclem  13140  pcprendvds2  13143  pcpre1  13144  pcpremul  13145  pcdvdsb  13170  pcidlem  13173  pcid  13174  pcdvdstr  13177  pcgcd1  13178  pcprmpw2  13183  pcaddlem  13185  pcadd  13186  pcfaclem  13195  pcfac  13196  pcbc  13197  prmpwdvds  13200  pockthlem  13201  2expltfac  13354  pgpfi1  15157  sylow1lem1  15160  sylow1lem3  15162  sylow1lem4  15163  sylow1lem5  15164  pgpfi  15167  gexexlem  15395  ablfac1lem  15554  ablfac1b  15556  ablfac1eu  15559  aalioulem2  20118  aalioulem5  20121  aaliou3lem9  20135  isppw2  20766  sgmppw  20849  fsumvma2  20866  pclogsum  20867  chpchtsum  20871  logfacubnd  20873  bposlem1  20936  bposlem5  20940  lgseisen  21005  chebbnd1lem1  21031  rpvmasumlem  21049  dchrisum0flblem1  21070  dchrisum0flblem2  21071  ostth2lem2  21196  ostth2lem3  21197  jm3.1lem3  26782  stoweidlem25  27443  stoweidlem45  27463  wallispi2lem1  27489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-seq 11252  df-exp 11311
  Copyright terms: Public domain W3C validator