MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Unicode version

Theorem nnexpcld 11282
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nnexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 nnexpcl 11132 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  bitsp1  12638  bitsfzolem  12641  bitsfzo  12642  bitsmod  12643  bitsfi  12644  bitscmp  12645  bitsinv1lem  12648  bitsinv1  12649  2ebits  12654  bitsinvp1  12656  sadcaddlem  12664  sadadd3  12668  sadaddlem  12673  sadasslem  12677  bitsres  12680  bitsuz  12681  bitsshft  12682  smumullem  12699  smumul  12700  rplpwr  12751  rppwr  12752  pclem  12907  pcprendvds2  12910  pcpre1  12911  pcpremul  12912  pcdvdsb  12937  pcidlem  12940  pcid  12941  pcdvdstr  12944  pcgcd1  12945  pcprmpw2  12950  pcaddlem  12952  pcadd  12953  pcfaclem  12962  pcfac  12963  pcbc  12964  prmpwdvds  12967  pockthlem  12968  2expltfac  13121  pgpfi1  14922  sylow1lem1  14925  sylow1lem3  14927  sylow1lem4  14928  sylow1lem5  14929  pgpfi  14932  gexexlem  15160  ablfac1lem  15319  ablfac1b  15321  ablfac1eu  15324  aalioulem2  19729  aalioulem5  19732  aaliou3lem9  19746  isppw2  20369  sgmppw  20452  fsumvma2  20469  pclogsum  20470  chpchtsum  20474  logfacubnd  20476  bposlem1  20539  bposlem5  20543  lgseisen  20608  chebbnd1lem1  20634  rpvmasumlem  20652  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0flblem2  20674  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  jm3.1lem3  27215  wallispi2lem1  27923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator