MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Structured version   Unicode version

Theorem nnexpcld 11536
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nnexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 nnexpcl 11386 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  bitsp1  12935  bitsfzolem  12938  bitsfzo  12939  bitsmod  12940  bitsfi  12941  bitscmp  12942  bitsinv1lem  12945  bitsinv1  12946  2ebits  12951  bitsinvp1  12953  sadcaddlem  12961  sadadd3  12965  sadaddlem  12970  sadasslem  12974  bitsres  12977  bitsuz  12978  bitsshft  12979  smumullem  12996  smumul  12997  rplpwr  13048  rppwr  13049  pclem  13204  pcprendvds2  13207  pcpre1  13208  pcpremul  13209  pcdvdsb  13234  pcidlem  13237  pcid  13238  pcdvdstr  13241  pcgcd1  13242  pcprmpw2  13247  pcaddlem  13249  pcadd  13250  pcfaclem  13259  pcfac  13260  pcbc  13261  prmpwdvds  13264  pockthlem  13265  2expltfac  13418  pgpfi1  15221  sylow1lem1  15224  sylow1lem3  15226  sylow1lem4  15227  sylow1lem5  15228  pgpfi  15231  gexexlem  15459  ablfac1lem  15618  ablfac1b  15620  ablfac1eu  15623  aalioulem2  20242  aalioulem5  20245  aaliou3lem9  20259  isppw2  20890  sgmppw  20973  fsumvma2  20990  pclogsum  20991  chpchtsum  20995  logfacubnd  20997  bposlem1  21060  bposlem5  21064  lgseisen  21129  chebbnd1lem1  21155  rpvmasumlem  21173  dchrisum0flblem1  21194  dchrisum0flblem2  21195  ostth2lem2  21320  ostth2lem3  21321  jm3.1lem3  27081  stoweidlem25  27741  stoweidlem45  27761  wallispi2lem1  27787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator