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Theorem nnge1 9788
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4043 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  1 ) )
2 breq2 4043 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  y ) )
3 breq2 4043 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
4 breq2 4043 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  A ) )
5 1le1 9412 . 2  |-  1  <_  1
6 nnre 9769 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7 recn 8843 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
87addid1d 9028 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  =  y )
98breq2d 4051 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  1  <_  y ) )
10 0lt1 9312 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
11 0re 8854 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
12 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 axltadd 8912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1510, 14mpi 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) )
16 readdcl 8836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  +  0 )  e.  RR )
1711, 16mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  e.  RR )
18 peano2re 9001 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
19 lttr 8915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1 )  ->  (
y  +  0 )  <  1 ) )
2012, 19mp3an3 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <  1 )  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y  +  0 )  <  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1
)  ->  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2215, 21mpand 656 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  <  1  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2322con3d 125 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  ( y  +  0 )  <  1  ->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
24 lenlt 8917 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  0 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  0 )  <->  -.  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2512, 17, 24sylancr 644 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  -.  (
y  +  0 )  <  1 ) )
26 lenlt 8917 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  <->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
2712, 18, 26sylancr 644 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  1 )  <->  -.  (
y  +  1 )  <  1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 259 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  -> 
1  <_  ( y  +  1 ) ) )
299, 28sylbird 226 . . 3  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
306, 29syl 15 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 9780 1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  9789  nnle1eq1  9790  nngt0  9791  nnnlt1  9792  nnrecgt0  9799  nnge1d  9804  elnnnn0c  10025  elnnz1  10065  zltp1le  10083  nnlesq  11222  digit1  11251  faclbnd  11319  faclbnd3  11321  faclbnd4lem1  11322  faclbnd4lem4  11325  sqrlem7  11750  ef01bndlem  12480  divalglem1  12609  isprm3  12783  pockthg  12969  infpn2  12976  dscmet  18111  ovolunlem1a  18871  vitali  18984  plyeq0lem  19608  logtayllem  20022  leibpi  20254  vmalelog  20460  chtublem  20466  logfaclbnd  20477  bposlem1  20539  dchrisum0lem1  20681  logdivbnd  20721  pntlemn  20765  ostth2lem3  20800  ballotlem2  23063  hashge1  23403  fz0n  24112  nndivlub  24969  clscnc  26113  fzsplit1nn0  26936  pell1qrgaplem  27061  pellqrex  27067  monotoddzzfi  27130  jm2.23  27192  fmuldfeq  27816  stoweidlem3  27855  stoweidlem20  27872  stoweidlem42  27894  stoweidlem51  27903  wallispilem4  27920  wallispilem5  27921  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  stirlinglem5  27930  stirlinglem13  27938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763
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