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Theorem nnge1 9772
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4027 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  1 ) )
2 breq2 4027 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  y ) )
3 breq2 4027 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
4 breq2 4027 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  A ) )
5 1le1 9396 . 2  |-  1  <_  1
6 nnre 9753 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7 recn 8827 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
87addid1d 9012 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  =  y )
98breq2d 4035 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  1  <_  y ) )
10 0lt1 9296 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
11 0re 8838 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
12 1re 8837 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 axltadd 8896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1267 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1510, 14mpi 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) )
16 readdcl 8820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  +  0 )  e.  RR )
1711, 16mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  e.  RR )
18 peano2re 8985 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
19 lttr 8899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1 )  ->  (
y  +  0 )  <  1 ) )
2012, 19mp3an3 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <  1 )  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y  +  0 )  <  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1
)  ->  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2215, 21mpand 656 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  <  1  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2322con3d 125 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  ( y  +  0 )  <  1  ->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
24 lenlt 8901 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  0 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  0 )  <->  -.  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2512, 17, 24sylancr 644 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  -.  (
y  +  0 )  <  1 ) )
26 lenlt 8901 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  <->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
2712, 18, 26sylancr 644 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  1 )  <->  -.  (
y  +  1 )  <  1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 259 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  -> 
1  <_  ( y  +  1 ) ) )
299, 28sylbird 226 . . 3  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
306, 29syl 15 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 9764 1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  9773  nnle1eq1  9774  nngt0  9775  nnnlt1  9776  nnrecgt0  9783  nnge1d  9788  elnnnn0c  10009  elnnz1  10049  zltp1le  10067  nnlesq  11206  digit1  11235  faclbnd  11303  faclbnd3  11305  faclbnd4lem1  11306  faclbnd4lem4  11309  sqrlem7  11734  ef01bndlem  12464  divalglem1  12593  isprm3  12767  pockthg  12953  infpn2  12960  dscmet  18095  ovolunlem1a  18855  vitali  18968  plyeq0lem  19592  logtayllem  20006  leibpi  20238  vmalelog  20444  chtublem  20450  logfaclbnd  20461  bposlem1  20523  dchrisum0lem1  20665  logdivbnd  20705  pntlemn  20749  ostth2lem3  20784  ballotlem2  23047  fz0n  23508  nndivlub  24308  clscnc  25422  fzsplit1nn0  26245  pell1qrgaplem  26370  pellqrex  26376  monotoddzzfi  26439  jm2.23  26501  fmuldfeq  27125  stoweidlem3  27164  stoweidlem20  27181  stoweidlem42  27203  stoweidlem51  27212  wallispilem4  27229  wallispilem5  27230  wallispi  27231  wallispi2lem1  27232  stirlinglem5  27239  stirlinglem13  27247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747
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