MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1d Structured version   Unicode version

Theorem nnge1d 10042
Description: A natural number is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnge1d  |-  ( ph  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnge1 10026 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   1c1 8991    <_ cle 9121   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  bernneq3  11507  facwordi  11580  faclbnd  11581  faclbnd3  11583  faclbnd4lem3  11586  facavg  11592  hashge1  11663  seqcoll  11712  eftlub  12710  eflegeo  12722  eirrlem  12803  divdenle  13141  eulerthlem2  13171  infpnlem2  13279  4sqlem11  13323  4sqlem12  13324  2expltfac  13426  fislw  15259  gzrngunitlem  16763  ovoliunlem1  19398  aalioulem2  20250  aalioulem4  20252  aalioulem5  20253  aaliou2b  20258  aaliou3lem2  20260  aaliou3lem8  20262  vmage0  20904  chpge0  20909  vma1  20949  sqff1o  20965  fsumfldivdiaglem  20974  vmalelog  20989  chtublem  20995  fsumvma2  20998  chpchtsum  21003  logfacubnd  21005  perfectlem2  21014  dchrelbas4  21027  bposlem1  21068  bposlem2  21069  bposlem5  21072  lgsdir  21114  lgsdilem2  21115  lgseisenlem1  21133  2sqlem8  21156  chebbnd1lem1  21163  chebbnd1lem2  21164  chebbnd1lem3  21165  dchrisumlem3  21185  dchrisum0flblem1  21202  dchrisum0lem1b  21209  dirith2  21222  selbergb  21243  selberg3lem2  21252  pntrlog2bndlem1  21271  pntrlog2bndlem3  21273  pntrlog2bndlem4  21274  pntrlog2bndlem5  21275  pntrlog2bnd  21278  pntpbnd1a  21279  pntlemj  21297  pntlemk  21300  lgamgulmlem5  24817  diophin  26831  irrapxlem4  26888  irrapxlem5  26889  pellexlem2  26893  pell14qrgapw  26939  pellfundgt1  26946  ltrmynn0  27013  jm2.27c  27078  jm3.1lem2  27089  fmuldfeq  27689  stoweidlem3  27728  stoweidlem20  27745  stoweidlem42  27767  stoweidlem51  27776  stoweidlem59  27784  stirlinglem8  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001
  Copyright terms: Public domain W3C validator