MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Unicode version

Theorem nngt0 9775
Description: A natural number is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 9753 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 9772 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 9296 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 8913 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1267 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 657 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 56 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  nngt0i  9779  nnsub  9784  nngt0d  9789  nnrecl  9963  nn0ge0  9991  elnnnn0b  10008  nn0sub  10014  elnnz  10034  gtndiv  10089  rpnnen1lem1  10342  rpnnen1lem2  10343  rpnnen1lem3  10344  rpnnen1lem5  10346  nnrp  10363  qbtwnre  10526  quoremz  10959  quoremnn0  10960  quoremnn0ALT  10961  intfracq  10963  fldiv  10964  expnnval  11107  nnlesq  11206  facdiv  11300  faclbnd  11303  harmonic  12317  nndivdvds  12537  ndvdssub  12606  ndvdsadd  12607  sqgcd  12737  qredeu  12786  isprm5  12791  divdenle  12820  oddprm  12868  pythagtriplem12  12879  pythagtriplem13  12880  pythagtriplem14  12881  pythagtriplem16  12883  pythagtriplem19  12886  pc2dvds  12931  fldivp1  12945  prmreclem3  12965  0hashbc  13054  mulgnn  14573  mulgnegnn  14577  odmodnn0  14855  prmirredlem  16446  znidomb  16515  dyadss  18949  volivth  18962  vitali  18968  mbfi1fseqlem3  19072  itg2gt0  19115  dgrcolem2  19655  logtayllem  20006  leibpi  20238  basellem6  20323  dvdsdivcl  20421  muinv  20433  logfac2  20456  bcmono  20516  bposlem5  20527  bposlem6  20528  lgsval4a  20557  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  gxpval  20926  gxnn0neg  20930  minvecolem3  21455  eldmgm  23694  subfaclim  23719  subfacval3  23720  snmlff  23912  nndivsub  24896  nndivlub  24897  nn0prpwlem  26238  fzmul  26443  irrapxlem1  26907  irrapxlem2  26908  pellexlem1  26914  monotoddzzfi  27027  rmynn  27043  jm2.24nn  27046  jm2.17c  27049  congabseq  27061  jm2.20nn  27090  rmydioph  27107  dgrsub2  27339  idomrootle  27511  hashgcdlem  27516  stoweidlem1  27750  stoweidlem11  27760  stoweidlem26  27775  stoweidlem38  27787  stoweidlem42  27791  stoweidlem44  27793  stoweidlem49  27798  stoweidlem51  27800  wallispilem4  27817  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator