MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Unicode version

Theorem nngt0 10034
Description: A natural number is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 10012 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 10031 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 9555 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 9096 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 9095 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 9171 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1270 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 659 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 59 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005
This theorem is referenced by:  nngt0i  10038  nnsub  10043  nngt0d  10048  nnrecl  10224  nn0ge0  10252  elnnnn0b  10269  nn0sub  10275  elnnz  10297  gtndiv  10352  rpnnen1lem1  10605  rpnnen1lem2  10606  rpnnen1lem3  10607  rpnnen1lem5  10609  nnrp  10626  qbtwnre  10790  elfznelfzo  11197  quoremz  11241  quoremnn0  11242  quoremnn0ALT  11243  intfracq  11245  fldiv  11246  expnnval  11390  nnlesq  11489  facdiv  11583  faclbnd  11586  bc0k  11607  harmonic  12643  nndivdvds  12863  ndvdssub  12932  ndvdsadd  12933  sqgcd  13063  qredeu  13112  isprm5  13117  divdenle  13146  oddprm  13194  pythagtriplem12  13205  pythagtriplem13  13206  pythagtriplem14  13207  pythagtriplem16  13209  pythagtriplem19  13212  pc2dvds  13257  fldivp1  13271  prmreclem3  13291  mulgnn  14901  mulgnegnn  14905  odmodnn0  15183  prmirredlem  16778  znidomb  16847  dyadss  19491  volivth  19504  vitali  19510  mbfi1fseqlem3  19612  itg2gt0  19655  dgrcolem2  20197  logtayllem  20555  leibpi  20787  basellem6  20873  dvdsdivcl  20971  muinv  20983  logfac2  21006  bcmono  21066  bposlem5  21077  bposlem6  21078  lgsval4a  21107  ostth2lem1  21317  ostth2lem3  21334  gxpval  21852  gxnn0neg  21856  minvecolem3  22383  eldmgm  24811  subfaclim  24879  subfacval3  24880  snmlff  25021  nndivsub  26212  nndivlub  26213  nn0prpwlem  26339  fzmul  26458  irrapxlem1  26899  irrapxlem2  26900  pellexlem1  26906  monotoddzzfi  27019  rmynn  27035  jm2.24nn  27038  jm2.17c  27041  congabseq  27053  jm2.20nn  27082  rmydioph  27099  dgrsub2  27330  idomrootle  27502  hashgcdlem  27507  stoweidlem17  27756  stoweidlem49  27788  wallispilem4  27807  stirlinglem6  27818  stirlinglem7  27819  stirlinglem10  27822  0mnnnnn0  28118  fzo1fzo0n0  28151  2ffzoeq  28163  flltdivnn0lt  28170  cshw1  28309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006
  Copyright terms: Public domain W3C validator