MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Unicode version

Theorem nngt0 10013
Description: A natural number is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 9991 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 10010 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 9534 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 9075 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 9074 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 9150 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1269 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 658 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 58 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    < clt 9104    <_ cle 9105   NNcn 9984
This theorem is referenced by:  nngt0i  10017  nnsub  10022  nngt0d  10027  nnrecl  10203  nn0ge0  10231  elnnnn0b  10248  nn0sub  10254  elnnz  10276  gtndiv  10331  rpnnen1lem1  10584  rpnnen1lem2  10585  rpnnen1lem3  10586  rpnnen1lem5  10588  nnrp  10605  qbtwnre  10769  elfznelfzo  11175  quoremz  11219  quoremnn0  11220  quoremnn0ALT  11221  intfracq  11223  fldiv  11224  expnnval  11368  nnlesq  11467  facdiv  11561  faclbnd  11564  bc0k  11585  harmonic  12621  nndivdvds  12841  ndvdssub  12910  ndvdsadd  12911  sqgcd  13041  qredeu  13090  isprm5  13095  divdenle  13124  oddprm  13172  pythagtriplem12  13183  pythagtriplem13  13184  pythagtriplem14  13185  pythagtriplem16  13187  pythagtriplem19  13190  pc2dvds  13235  fldivp1  13249  prmreclem3  13269  mulgnn  14879  mulgnegnn  14883  odmodnn0  15161  prmirredlem  16756  znidomb  16825  dyadss  19469  volivth  19482  vitali  19488  mbfi1fseqlem3  19592  itg2gt0  19635  dgrcolem2  20175  logtayllem  20533  leibpi  20765  basellem6  20851  dvdsdivcl  20949  muinv  20961  logfac2  20984  bcmono  21044  bposlem5  21055  bposlem6  21056  lgsval4a  21085  ostth2lem1  21295  ostth2lem3  21312  gxpval  21830  gxnn0neg  21834  minvecolem3  22361  eldmgm  24789  subfaclim  24857  subfacval3  24858  snmlff  24999  nndivsub  26150  nndivlub  26151  nn0prpwlem  26257  fzmul  26376  irrapxlem1  26817  irrapxlem2  26818  pellexlem1  26824  monotoddzzfi  26937  rmynn  26953  jm2.24nn  26956  jm2.17c  26959  congabseq  26971  jm2.20nn  27000  rmydioph  27017  dgrsub2  27249  idomrootle  27421  hashgcdlem  27426  stoweidlem17  27675  stoweidlem49  27707  wallispilem4  27726  stirlinglem6  27737  stirlinglem7  27738  stirlinglem10  27741  0mnnnnn0  28013  fzo1fzo0n0  28030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985
  Copyright terms: Public domain W3C validator