MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Unicode version

Theorem nngt0 9791
Description: A natural number is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 9769 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnge1 9788 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
3 0lt1 9312 . . 3  |-  0  <  1
4 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
5 1re 8853 . . . 4  |-  1  e.  RR
6 ltletr 8929 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1267 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
83, 7mpani 657 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
91, 2, 8sylc 56 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  nngt0i  9795  nnsub  9800  nngt0d  9805  nnrecl  9979  nn0ge0  10007  elnnnn0b  10024  nn0sub  10030  elnnz  10050  gtndiv  10105  rpnnen1lem1  10358  rpnnen1lem2  10359  rpnnen1lem3  10360  rpnnen1lem5  10362  nnrp  10379  qbtwnre  10542  quoremz  10975  quoremnn0  10976  quoremnn0ALT  10977  intfracq  10979  fldiv  10980  expnnval  11123  nnlesq  11222  facdiv  11316  faclbnd  11319  harmonic  12333  nndivdvds  12553  ndvdssub  12622  ndvdsadd  12623  sqgcd  12753  qredeu  12802  isprm5  12807  divdenle  12836  oddprm  12884  pythagtriplem12  12895  pythagtriplem13  12896  pythagtriplem14  12897  pythagtriplem16  12899  pythagtriplem19  12902  pc2dvds  12947  fldivp1  12961  prmreclem3  12981  0hashbc  13070  mulgnn  14589  mulgnegnn  14593  odmodnn0  14871  prmirredlem  16462  znidomb  16531  dyadss  18965  volivth  18978  vitali  18984  mbfi1fseqlem3  19088  itg2gt0  19131  dgrcolem2  19671  logtayllem  20022  leibpi  20254  basellem6  20339  dvdsdivcl  20437  muinv  20449  logfac2  20472  bcmono  20532  bposlem5  20543  bposlem6  20544  lgsval4a  20573  ostth2lem1  20783  ostth2lem3  20800  gxpval  20942  gxnn0neg  20946  minvecolem3  21471  eldmgm  23709  subfaclim  23734  subfacval3  23735  snmlff  23927  nndivsub  24968  nndivlub  24969  nn0prpwlem  26341  fzmul  26546  irrapxlem1  27010  irrapxlem2  27011  pellexlem1  27017  monotoddzzfi  27130  rmynn  27146  jm2.24nn  27149  jm2.17c  27152  congabseq  27164  jm2.20nn  27193  rmydioph  27210  dgrsub2  27442  idomrootle  27614  hashgcdlem  27619  stoweidlem1  27853  stoweidlem11  27863  stoweidlem26  27878  stoweidlem38  27890  stoweidlem42  27894  stoweidlem44  27896  stoweidlem49  27901  stoweidlem51  27903  wallispilem4  27920  wallispi2lem1  27923  wallispi2  27925  stirlinglem6  27931  stirlinglem7  27932  stirlinglem10  27935  elfznelfzo  28213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator