MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Unicode version

Theorem nngt0d 10048
Description: A natural number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 10034 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   0cc0 8995    < clt 9125   NNcn 10005
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11516  faclbnd5  11594  facubnd  11596  harmonic  12643  efcllem  12685  ege2le3  12697  eftlub  12715  eflegeo  12727  eirrlem  12808  bitsfzo  12952  sqgcd  13063  prmind2  13095  nprm  13098  isprm5  13117  divdenle  13146  qnumgt0  13147  hashdvds  13169  odzdvds  13186  pythagtriplem11  13204  pythagtriplem13  13206  pythagtriplem19  13212  pcadd  13263  pcfaclem  13272  qexpz  13275  pockthlem  13278  pockthg  13279  prmreclem1  13289  prmreclem5  13293  4sqlem12  13329  4sqlem14  13331  4sqlem16  13333  vdwlem3  13356  vdwlem9  13362  pgpfaclem2  15645  lebnumii  18996  dyadf  19488  dyadovol  19490  dyaddisjlem  19492  dyadmaxlem  19494  opnmbllem  19498  mbfi1fseqlem1  19610  mbfi1fseqlem4  19613  mbfi1fseqlem5  19614  mbfi1fseqlem6  19615  itg2gt0  19655  itg2cnlem2  19657  dgrcolem2  20197  leibpi  20787  log2tlbnd  20790  birthdaylem3  20797  amgm  20834  emcllem2  20840  harmonicbnd4  20854  basellem1  20868  basellem4  20871  basellem6  20873  dvdsflf1o  20977  fsumfldivdiaglem  20979  fsumvma2  21003  chpchtsum  21008  perfectlem2  21019  bposlem1  21073  bposlem2  21074  bposlem6  21078  lgsqrlem4  21133  lgseisenlem1  21138  lgsquadlem1  21143  lgsquadlem2  21144  2sqlem8  21161  chebbnd1lem3  21170  rplogsumlem1  21183  rplogsumlem2  21184  rpvmasumlem  21186  dchrisumlema  21187  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem3  21190  dchrisum0flblem2  21208  dchrisum0re  21212  logdivbnd  21255  pntpbnd1a  21284  pntpbnd1  21285  ostth2lem2  21333  ostth2lem3  21334  minvecolem4  22387  lgamgulmlem1  24818  subfaclim  24879  cvmliftlem2  24978  cvmliftlem6  24982  cvmliftlem7  24983  cvmliftlem8  24984  cvmliftlem9  24985  cvmliftlem10  24986  cvmliftlem13  24988  opnmbllem0  26254  mblfinlem2  26256  irrapxlem4  26902  irrapxlem5  26903  pellexlem2  26907  pellexlem6  26911  rmxypos  27026  jm2.17b  27040  jm2.17c  27041  jm2.27a  27090  jm2.27c  27092  jm3.1lem1  27102  jm3.1lem2  27103  jm3.1lem3  27104  psgnunilem3  27410  stoweidlem1  27740  stoweidlem11  27750  stoweidlem26  27765  stoweidlem38  27777  stoweidlem42  27781  stoweidlem44  27783  stoweidlem51  27790  stoweidlem59  27798  stirlinglem3  27815  stirlinglem15  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006
  Copyright terms: Public domain W3C validator