MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Unicode version

Theorem nngt0d 10007
Description: A natural number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 9993 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   0cc0 8954    < clt 9084   NNcn 9964
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11474  faclbnd5  11552  facubnd  11554  harmonic  12601  efcllem  12643  ege2le3  12655  eftlub  12673  eflegeo  12685  eirrlem  12766  bitsfzo  12910  sqgcd  13021  prmind2  13053  nprm  13056  isprm5  13075  divdenle  13104  qnumgt0  13105  hashdvds  13127  odzdvds  13144  pythagtriplem11  13162  pythagtriplem13  13164  pythagtriplem19  13170  pcadd  13221  pcfaclem  13230  qexpz  13233  pockthlem  13236  pockthg  13237  prmreclem1  13247  prmreclem5  13251  4sqlem12  13287  4sqlem14  13289  4sqlem16  13291  vdwlem3  13314  vdwlem9  13320  pgpfaclem2  15603  lebnumii  18952  dyadf  19444  dyadovol  19446  dyaddisjlem  19448  dyadmaxlem  19450  opnmbllem  19454  mbfi1fseqlem1  19568  mbfi1fseqlem4  19571  mbfi1fseqlem5  19572  mbfi1fseqlem6  19573  itg2gt0  19613  itg2cnlem2  19615  dgrcolem2  20153  leibpi  20743  log2tlbnd  20746  birthdaylem3  20753  amgm  20790  emcllem2  20796  harmonicbnd4  20810  basellem1  20824  basellem4  20827  basellem6  20829  dvdsflf1o  20933  fsumfldivdiaglem  20935  fsumvma2  20959  chpchtsum  20964  perfectlem2  20975  bposlem1  21029  bposlem2  21030  bposlem6  21034  lgsqrlem4  21089  lgseisenlem1  21094  lgsquadlem1  21099  lgsquadlem2  21100  2sqlem8  21117  chebbnd1lem3  21126  rplogsumlem1  21139  rplogsumlem2  21140  rpvmasumlem  21142  dchrisumlema  21143  dchrisumlem1  21144  dchrisumlem3  21146  dchrisum0flblem2  21164  dchrisum0re  21168  logdivbnd  21211  pntpbnd1a  21240  pntpbnd1  21241  ostth2lem2  21289  ostth2lem3  21290  minvecolem4  22343  lgamgulmlem1  24774  subfaclim  24835  cvmliftlem2  24934  cvmliftlem6  24938  cvmliftlem7  24939  cvmliftlem8  24940  cvmliftlem9  24941  cvmliftlem10  24942  cvmliftlem13  24944  mblfinlem  26151  irrapxlem4  26786  irrapxlem5  26787  pellexlem2  26791  pellexlem6  26795  rmxypos  26910  jm2.17b  26924  jm2.17c  26925  jm2.27a  26974  jm2.27c  26976  jm3.1lem1  26986  jm3.1lem2  26987  jm3.1lem3  26988  psgnunilem3  27295  stoweidlem1  27625  stoweidlem11  27635  stoweidlem26  27650  stoweidlem38  27662  stoweidlem42  27666  stoweidlem44  27668  stoweidlem51  27675  stoweidlem59  27683  stirlinglem3  27700  stirlinglem15  27712
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965
  Copyright terms: Public domain W3C validator