MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Unicode version

Theorem nngt0d 9879
Description: A natural number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 9865 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   0cc0 8827    < clt 8957   NNcn 9836
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11326  faclbnd5  11404  facubnd  11406  wrdeqs1cat  11571  harmonic  12414  efcllem  12456  ege2le3  12468  eftlub  12486  eflegeo  12498  eirrlem  12579  bitsfzo  12723  sqgcd  12834  prmind2  12866  nprm  12869  isprm5  12888  divdenle  12917  qnumgt0  12918  hashdvds  12940  odzdvds  12957  pythagtriplem11  12975  pythagtriplem13  12977  pythagtriplem19  12983  pcadd  13034  pcfaclem  13043  qexpz  13046  pockthlem  13049  pockthg  13050  prmreclem1  13060  prmreclem5  13064  4sqlem12  13100  4sqlem14  13102  4sqlem16  13104  vdwlem3  13127  vdwlem9  13133  pgpfaclem2  15416  lebnumii  18568  dyadf  19050  dyadovol  19052  dyaddisjlem  19054  dyadmaxlem  19056  opnmbllem  19060  mbfi1fseqlem1  19174  mbfi1fseqlem4  19177  mbfi1fseqlem5  19178  mbfi1fseqlem6  19179  itg2gt0  19219  itg2cnlem2  19221  dgrcolem2  19759  leibpi  20349  log2tlbnd  20352  birthdaylem3  20359  amgm  20396  emcllem2  20402  harmonicbnd4  20416  basellem1  20430  basellem4  20433  basellem6  20435  dvdsflf1o  20539  fsumfldivdiaglem  20541  fsumvma2  20565  chpchtsum  20570  perfectlem2  20581  bposlem1  20635  bposlem2  20636  bposlem6  20640  lgsqrlem4  20695  lgseisenlem1  20700  lgsquadlem1  20705  lgsquadlem2  20706  2sqlem8  20723  chebbnd1lem3  20732  rplogsumlem1  20745  rplogsumlem2  20746  rpvmasumlem  20748  dchrisumlema  20749  dchrisumlem1  20750  dchrisumlem3  20752  dchrisum0flblem2  20770  dchrisum0re  20774  logdivbnd  20817  pntpbnd1a  20846  pntpbnd1  20847  ostth2lem2  20895  ostth2lem3  20896  minvecolem4  21573  lgamgulmlem1  24062  subfaclim  24123  cvmliftlem2  24221  cvmliftlem6  24225  cvmliftlem7  24226  cvmliftlem8  24227  cvmliftlem9  24228  cvmliftlem10  24229  cvmliftlem13  24231  irrapxlem4  26233  irrapxlem5  26234  pellexlem2  26238  pellexlem6  26242  rmxypos  26357  jm2.17b  26371  jm2.17c  26372  jm2.27a  26421  jm2.27c  26423  jm3.1lem1  26433  jm3.1lem2  26434  jm3.1lem3  26435  psgnunilem3  26742  stoweidlem59  27131  stirlinglem3  27148  stirlinglem15  27160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837
  Copyright terms: Public domain W3C validator