MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Unicode version

Theorem nngt0d 9789
Description: A natural number is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nngt0d  |-  ( ph  ->  0  <  A )

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nngt0 9775 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   0cc0 8737    < clt 8867   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11233  faclbnd5  11311  facubnd  11313  wrdeqs1cat  11475  harmonic  12317  efcllem  12359  ege2le3  12371  eftlub  12389  eflegeo  12401  eirrlem  12482  bitsfzo  12626  sqgcd  12737  prmind2  12769  nprm  12772  isprm5  12791  divdenle  12820  qnumgt0  12821  hashdvds  12843  odzdvds  12860  pythagtriplem11  12878  pythagtriplem13  12880  pythagtriplem19  12886  pcadd  12937  pcfaclem  12946  qexpz  12949  pockthlem  12952  pockthg  12953  prmreclem1  12963  prmreclem5  12967  4sqlem12  13003  4sqlem14  13005  4sqlem16  13007  vdwlem3  13030  vdwlem9  13036  pgpfaclem2  15317  lebnumii  18464  dyadf  18946  dyadovol  18948  dyaddisjlem  18950  dyadmaxlem  18952  opnmbllem  18956  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  itg2gt0  19115  itg2cnlem2  19117  dgrcolem2  19655  leibpi  20238  log2tlbnd  20241  birthdaylem3  20248  amgm  20285  emcllem2  20290  harmonicbnd4  20304  basellem1  20318  basellem4  20321  basellem6  20323  dvdsflf1o  20427  fsumfldivdiaglem  20429  fsumvma2  20453  chpchtsum  20458  perfectlem2  20469  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem6  20528  lgsqrlem4  20583  lgseisenlem1  20588  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  2sqlem8  20611  chebbnd1lem3  20620  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem3  20640  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0re  20662  logdivbnd  20705  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  minvecolem4  21459  subfaclim  23719  cvmliftlem2  23817  cvmliftlem6  23821  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem8  23823  cvmliftlem9  23824  cvmliftlem10  23825  cvmliftlem13  23827  cntrset  25602  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  rmxypos  27034  jm2.17b  27048  jm2.17c  27049  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100  jm3.1lem1  27110  jm3.1lem2  27111  jm3.1lem3  27112  psgnunilem3  27419  stoweidlem59  27808  stirlinglem3  27825  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator