MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnind Structured version   Unicode version

Theorem nnind 10010
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. See nnaddcl 10014 for an example of its use. See nn0ind 10358 for induction on nonnegative integers and uzind 10353, uzind4 10526 for induction on an arbitrary set of upper integers. See indstr 10537 for strong induction. See also nnindALT 10011. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
nnind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nnind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nnind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nnind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nnind.5  |-  ps
nnind.6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nnind  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nnind
StepHypRef Expression
1 1nn 10003 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
2 nnind.5 . . . . . 6  |-  ps
3 nnind.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( 1  e.  NN  /\  ps ) )
51, 2, 4mpbir2an 887 . . . . 5  |-  1  e.  { x  e.  NN  |  ph }
6 elrabi 3082 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  y  e.  NN )
7 peano2nn 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
87a1d 23 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
9 nnind.6 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
108, 9anim12d 547 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  e.  NN  /\ 
ch )  ->  (
( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) ) )
11 nnind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1211elrab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ch ) )
13 nnind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1413elrab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( ( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) )
1510, 12, 143imtr4g 262 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
) )
166, 15mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
)
1716rgen 2763 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }
18 peano5nni 9995 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e.  {
x  e.  NN  |  ph } )  ->  NN  C_ 
{ x  e.  NN  |  ph } )
195, 17, 18mp2an 654 . . . 4  |-  NN  C_  { x  e.  NN  |  ph }
2019sseli 3336 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  { x  e.  NN  |  ph } )
21 nnind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2221elrab 3084 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2320, 22sylib 189 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2423simprd 450 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312  (class class class)co 6073   1c1 8983    + caddc 8985   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  nnindALT  10011  nn1m1nn  10012  nnaddcl  10014  nnmulcl  10015  nnge1  10018  nnsub  10030  nneo  10345  peano5uzi  10350  uzindOLD  10356  nn0ind-raph  10362  ser1const  11371  expcllem  11384  expeq0  11402  seqcoll  11704  climcndslem2  12622  sqr2irr  12840  gcdmultiple  13042  rplpwr  13048  prmind2  13082  prmdvdsexp  13106  eulerthlem2  13163  pcmpt  13253  prmpwdvds  13264  vdwlem10  13350  mulgnnass  14910  imasdsf1olem  18395  ovolunlem1a  19384  ovolicc2lem3  19407  voliunlem1  19436  volsup  19442  dvexp  19831  plyco  20152  dgrcolem1  20183  vieta1  20221  emcllem6  20831  bposlem5  21064  2sqlem10  21150  dchrisum0flb  21196  iuninc  24003  ofldchr  24236  esumfzf  24451  rrvsum  24704  subfacp1lem6  24863  cvmliftlem10  24973  faclimlem1  25354  incsequz  26443  bfplem1  26522  2nn0ind  26999  expmordi  27001  fmuldfeq  27680  stoweidlem20  27736  wallispilem4  27784  wallispi2lem1  27787  wallispi2lem2  27788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-1cn 9040
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator