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Theorem nninfnub 26469
Description: An infinite set of natural numbers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3644 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e. 
{ x  e.  A  |  B  <  x }
)
2 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  <  x  <->  B  <  y ) )
32elrab 3094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  B  < 
x }  <->  ( y  e.  A  /\  B  < 
y ) )
43notbii 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  -.  (
y  e.  A  /\  B  <  y ) )
5 imnan 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  B  <  y ) )
64, 5bitr4i 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
76biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  (
y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
87alimi 1569 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
9 df-ral 2712 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  <->  A. y
( y  e.  A  ->  -.  B  <  y
) )
108, 9sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y  e.  A  -.  B  <  y )
11 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN )
1211nnred 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1312adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
14 nnre 10012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
16 lenlt 9159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  <_  B  <->  -.  B  <  y ) )
1716biimprd 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
y  ->  y  <_  B ) )
1813, 15, 17syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  B  <  y  ->  y  <_  B ) )
1918ralimdva 2786 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A. y  e.  A  y  <_  B ) )
20 fzfi 11316 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2111nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN0 )
2221adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  NN0 )
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  e.  NN0 )
24 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
2524ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  B  e.  NN0 )
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  <_  B )
2723, 25, 263jca 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
2827ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) ) )
29 elfz2nn0 11087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  <->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
3028, 29syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3130ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3231imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
33 dfss3 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 ... B )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
3432, 33sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  C_  (
0 ... B ) )
35 ssfi 7332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  A  C_  ( 0 ... B ) )  ->  A  e.  Fin )
3620, 34, 35sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  e.  Fin )
3736ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A  e.  Fin ) )
3819, 37syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A  e.  Fin )
)
3910, 38syl5 31 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A  e.  Fin )
)
401, 39syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
4140necon3bd 2640 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) ) )
4241imp 420 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  -.  A  e. 
Fin )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
4342an32s 781 . 2  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
-.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  < 
x }  =/=  (/) )
44433impa 1149 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   RRcr 8994   0cc0 8995    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ...cfz 11048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
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