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Theorem nninfnub 26349
Description: An infinite set of natural numbers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3606 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e. 
{ x  e.  A  |  B  <  x }
)
2 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  <  x  <->  B  <  y ) )
32elrab 3056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  B  < 
x }  <->  ( y  e.  A  /\  B  < 
y ) )
43notbii 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  -.  (
y  e.  A  /\  B  <  y ) )
5 imnan 412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  B  <  y ) )
64, 5bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
76biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  (
y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
87alimi 1565 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
9 df-ral 2675 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  <->  A. y
( y  e.  A  ->  -.  B  <  y
) )
108, 9sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y  e.  A  -.  B  <  y )
11 ssel2 3307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN )
1211nnred 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1312adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
14 nnre 9967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
16 lenlt 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  <_  B  <->  -.  B  <  y ) )
1716biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
y  ->  y  <_  B ) )
1813, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  B  <  y  ->  y  <_  B ) )
1918ralimdva 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A. y  e.  A  y  <_  B ) )
20 fzfi 11270 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2111nnnn0d 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN0 )
2221adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  NN0 )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  e.  NN0 )
24 nnnn0 10188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
2524ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  B  e.  NN0 )
26 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  <_  B )
2723, 25, 263jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
2827ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) ) )
29 elfz2nn0 11042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  <->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
3028, 29syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3130ralimdva 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3231imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
33 dfss3 3302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 ... B )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
3432, 33sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  C_  (
0 ... B ) )
35 ssfi 7292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  A  C_  ( 0 ... B ) )  ->  A  e.  Fin )
3620, 34, 35sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  e.  Fin )
3736ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A  e.  Fin ) )
3819, 37syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A  e.  Fin )
)
3910, 38syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A  e.  Fin )
)
401, 39syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
4140necon3bd 2608 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) ) )
4241imp 419 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  -.  A  e. 
Fin )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
4342an32s 780 . 2  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
-.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  < 
x }  =/=  (/) )
44433impa 1148 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   {crab 2674    C_ wss 3284   (/)c0 3592   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   RRcr 8949   0cc0 8950    < clt 9080    <_ cle 9081   NNcn 9960   NN0cn0 10181   ...cfz 11003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004
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