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Theorem nninfnub 26461
Description: An infinite set of natural numbers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3469 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e. 
{ x  e.  A  |  B  <  x }
)
2 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  <  x  <->  B  <  y ) )
32elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  B  < 
x }  <->  ( y  e.  A  /\  B  < 
y ) )
43notbii 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  -.  (
y  e.  A  /\  B  <  y ) )
5 imnan 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  B  <  y ) )
64, 5bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
76biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  (
y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
87alimi 1546 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
9 df-ral 2548 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  <->  A. y
( y  e.  A  ->  -.  B  <  y
) )
108, 9sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y  e.  A  -.  B  <  y )
11 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN )
1211nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1312adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
14 nnre 9753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
16 lenlt 8901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  <_  B  <->  -.  B  <  y ) )
1716biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
y  ->  y  <_  B ) )
1813, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  B  <  y  ->  y  <_  B ) )
1918ralimdva 2621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A. y  e.  A  y  <_  B ) )
20 fzfi 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2111nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN0 )
2221adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  NN0 )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  e.  NN0 )
24 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN0 )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  B  e.  NN0 )
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  <_  B )
2823, 26, 273jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) ) )
30 elfz2nn0 10821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  <->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
3129, 30syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3231ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3332imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
34 dfss3 3170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 ... B )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  C_  (
0 ... B ) )
36 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  A  C_  ( 0 ... B ) )  ->  A  e.  Fin )
3720, 35, 36sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  e.  Fin )
3837ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A  e.  Fin ) )
3919, 38syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A  e.  Fin )
)
4010, 39syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A  e.  Fin )
)
411, 40syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
4241necon3bd 2483 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) ) )
4342imp 418 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  -.  A  e. 
Fin )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
4443an32s 779 . 2  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
-.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  < 
x }  =/=  (/) )
45443impa 1146 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ...cfz 10782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
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