Theorem nnlim 3144

Description: A natural number is not a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
nnlim	|- (A e. om -> -. Lim A)

Proof of Theorem nnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 3140	. . 3 |- (A e. om -> Ord A)
2		ordirr 2966	. . 3 |- (Ord A -> -. A e. A)
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (A e. om -> -. A e. A)
4		elomg 3135	. . . . 5 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
5	4	ibi 592	. . . 4 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
6	5	pm3.27d 325	. . 3 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
7		limeq 2960	. . . . 5 |- (x = A -> (Lim x <-> Lim A))
8		eleq2 1535	. . . . 5 |- (x = A -> (A e. x <-> A e. A))
9	7, 8	imbi12d 626	. . . 4 |- (x = A -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim A -> A e. A)))
10	9	cla4gv 1862	. . 3 |- (A e. om -> (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim A -> A e. A)))
11	6, 10	mpd 26	. 2 |- (A e. om -> (Lim A -> A e. A))
12	3, 11	mtod 108	1 |- (A e. om -> -. Lim A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  Ord word 2947  Lim wlim 2949  omcom 3131

This theorem is referenced by:  omssnlim 3145  limom 3146  nnsuc 3148

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-om 3132

Copyright terms: Public domain