MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 Unicode version

Theorem nnm1nn0 10005
Description: A natural number minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 9766 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
2 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3 1m1e0 9814 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
42, 3syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  =  0 )
54orim1i 503 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  =  0  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
61, 5syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  =  0  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
76orcomd 377 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  =  0 ) )
8 elnn0 9967 . 2  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1 )  =  0 ) )
97, 8sylibr 203 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10006  nnaddm1cl  10073  fseq1m1p1  10858  nn0ennn  11041  expm1t  11130  expgt1  11140  digit1  11235  bcn1  11325  bcm1k  11327  wrdeqcats1  11474  isercoll2  12142  iseralt  12157  binomlem  12287  incexc  12296  incexc2  12297  arisum  12318  arisum2  12319  mertenslem2  12341  ruclem12  12519  iddvdsexp  12552  dvdsfac  12583  oexpneg  12590  bitsfzolem  12625  bitsf1  12637  phibnd  12839  phiprmpw  12844  prmdiv  12853  oddprm  12868  iserodd  12888  fldivp1  12945  prmpwdvds  12951  4sqlem12  13003  4sqlem19  13010  vdwapid1  13022  vdwlem1  13028  vdwlem3  13030  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem9  13036  0ram  13067  ram0  13069  ramub1lem1  13073  ramub1lem2  13074  ramcl  13076  1259lem5  13133  2503lem3  13137  4001lem4  13142  gsumwsubmcl  14461  gsumccat  14464  gsumwmhm  14467  sylow1lem1  14909  efgsrel  15043  efgredlem  15056  lebnumii  18464  ovolunlem1  18856  dvexp  19302  dgreq0  19646  dvply1  19664  vieta1lem2  19691  aaliou3lem8  19725  dvtaylp  19749  taylthlem1  19752  pserdvlem2  19804  pserdv2  19806  abelthlem6  19812  logtayl  20007  logtayl2  20009  cxpeq  20097  leibpilem1  20236  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  wilth  20309  ftalem1  20310  basellem5  20322  1sgm2ppw  20439  chtublem  20450  perfect1  20467  perfect  20470  bcmono  20516  lgslem1  20535  lgsquadlem1  20593  lgsquad2lem2  20598  m1lgs  20601  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  gxsuc  20939  subfacp1lem6  23716  erdszelem10  23731  erdsze2lem1  23734  erdsze2lem2  23735  cvmliftlem2  23817  eupares  23899  bpolydiflem  24789  irrapxlem1  26907  rmspecsqrnq  26991  jm2.24nn  27046  jm2.17a  27047  acongeq  27070  jm2.18  27081  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.20nn  27090  jm2.27c  27100  dvsinexp  27740  itgsinexplem1  27748  itgsinexp  27749  wallispilem3  27816  wallispilem5  27818  stirlinglem5  27827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-nn 9747  df-n0 9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator