MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 Structured version   Unicode version

Theorem nnm1nn0 10261
Description: A natural number minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 10020 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  -  1
)  e.  NN ) )
2 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3 1m1e0 10068 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
42, 3syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  =  0 )
54orim1i 504 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  \/  ( N  -  1 )  e.  NN )  ->  ( ( N  -  1 )  =  0  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  =  0  \/  ( N  -  1 )  e.  NN ) )
76orcomd 378 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1
)  =  0 ) )
8 elnn0 10223 . 2  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  e.  NN  \/  ( N  -  1 )  =  0 ) )
97, 8sylibr 204 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10262  nn0n0n1ge2  10280  nnaddm1cl  10331  fseq1m1p1  11123  elfznelfzo  11192  nn0ennn  11318  expm1t  11408  expgt1  11418  digit1  11513  bcn1  11604  bcm1k  11606  bcn2m1  11615  wrdeqcats1  11788  isercoll2  12462  iseralt  12478  binomlem  12608  incexc  12617  incexc2  12618  arisum  12639  arisum2  12640  mertenslem2  12662  ruclem12  12840  iddvdsexp  12873  dvdsfac  12904  oexpneg  12911  bitsfzolem  12946  bitsf1  12958  phibnd  13160  phiprmpw  13165  prmdiv  13174  oddprm  13189  iserodd  13209  fldivp1  13266  prmpwdvds  13272  4sqlem12  13324  4sqlem19  13331  vdwapid1  13343  vdwlem1  13349  vdwlem3  13351  vdwlem5  13353  vdwlem6  13354  vdwlem9  13357  0ram  13388  ram0  13390  ramub1lem1  13394  ramub1lem2  13395  ramcl  13397  1259lem5  13454  2503lem3  13458  4001lem4  13463  gsumwsubmcl  14784  gsumccat  14787  gsumwmhm  14790  sylow1lem1  15232  efgsrel  15366  efgredlem  15379  lebnumii  18991  ovolunlem1  19393  dvexp  19839  dgreq0  20183  dvply1  20201  vieta1lem2  20228  aaliou3lem8  20262  dvtaylp  20286  taylthlem1  20289  pserdvlem2  20344  pserdv2  20346  abelthlem6  20352  logtayl  20551  logtayl2  20553  cxpeq  20641  leibpilem1  20780  wilthlem1  20851  wilthlem2  20852  wilthlem3  20853  wilth  20854  ftalem1  20855  basellem5  20867  1sgm2ppw  20984  chtublem  20995  perfect1  21012  perfect  21015  bcmono  21061  lgslem1  21080  lgsquadlem1  21138  lgsquad2lem2  21143  m1lgs  21146  selberg2lem  21244  logdivbnd  21250  pntrsumo1  21259  cusgrasize2inds  21486  eupares  21697  gxsuc  21860  gamfac  24851  subfacp1lem6  24871  erdszelem10  24886  erdsze2lem1  24889  erdsze2lem2  24890  cvmliftlem2  24973  risefallfac  25340  fallfacfwd  25352  0fallfac  25353  bpolydiflem  26100  irrapxlem1  26885  rmspecsqrnq  26969  jm2.24nn  27024  jm2.17a  27025  acongeq  27048  jm2.18  27059  jm2.22  27066  jm2.23  27067  jm2.20nn  27068  jm2.27c  27078  dvsinexp  27716  itgsinexplem1  27724  itgsinexp  27725  wallispilem3  27792  wallispilem5  27794  stirlinglem5  27803  lswrdn0  28260  cusgraisrusgra  28377  frghash2spot  28452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-nn 10001  df-n0 10222
  Copyright terms: Public domain W3C validator