MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm2 Unicode version

Theorem nnm2 6829
Description: Multiply an element of  om by  2o (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm2  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )

Proof of Theorem nnm2
StepHypRef Expression
1 df-2o 6662 . . 3  |-  2o  =  suc  1o
21oveq2i 6032 . 2  |-  ( A  .o  2o )  =  ( A  .o  suc  1o )
3 1onn 6819 . . . 4  |-  1o  e.  om
4 nnmsuc 6787 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( A  .o  suc  1o )  =  ( ( A  .o  1o )  +o  A ) )
53, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  1o )  =  ( ( A  .o  1o )  +o  A ) )
6 nnm1 6828 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
76oveq1d 6036 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  1o )  +o  A )  =  ( A  +o  A
) )
85, 7eqtrd 2420 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  1o )  =  ( A  +o  A ) )
92, 8syl5eq 2432 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   suc csuc 4525   omcom 4786  (class class class)co 6021   1oc1o 6654   2oc2o 6655    +o coa 6658    .o comu 6659
This theorem is referenced by:  nn2m  6830  omopthlem1  6835  omopthlem2  6836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666
  Copyright terms: Public domain W3C validator