MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm2 Structured version   Unicode version

Theorem nnm2 6884
Description: Multiply an element of  om by  2o (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm2  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )

Proof of Theorem nnm2
StepHypRef Expression
1 df-2o 6717 . . 3  |-  2o  =  suc  1o
21oveq2i 6084 . 2  |-  ( A  .o  2o )  =  ( A  .o  suc  1o )
3 1onn 6874 . . . 4  |-  1o  e.  om
4 nnmsuc 6842 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( A  .o  suc  1o )  =  ( ( A  .o  1o )  +o  A ) )
53, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  1o )  =  ( ( A  .o  1o )  +o  A ) )
6 nnm1 6883 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
76oveq1d 6088 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  1o )  +o  A )  =  ( A  +o  A
) )
85, 7eqtrd 2467 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  1o )  =  ( A  +o  A ) )
92, 8syl5eq 2479 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   suc csuc 4575   omcom 4837  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   2oc2o 6710    +o coa 6713    .o comu 6714
This theorem is referenced by:  nn2m  6885  omopthlem1  6890  omopthlem2  6891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721
  Copyright terms: Public domain W3C validator