Theorem nnmass 4245

Description: Multiplication of natural numbers is associative. (For brevity, this is just a special case of the proof for ordinals. A direct proof would be about 1/3 the size of the ordinal proof, since it would use finite induction and not require the limit ordinal case..) Theorem 4K(4) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnmass	|- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A .o B) .o C) = (A .o (B .o C)))

Proof of Theorem nnmass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omass 4217	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A .o B) .o C) = (A .o (B .o C)))
2		nnont 3144	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
3		nnont 3144	. 2 |- (B e. om -> B e. On)
4		nnont 3144	. 2 |- (C e. om -> C e. On)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 870	1 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> ((A .o B) .o C) = (A .o (B .o C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Oncon0 2954  omcom 3137  (class class class)co 3969   .o comu 4137

This theorem is referenced by:  mulasspi 5037

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142

Copyright terms: Public domain