MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcl Unicode version

Theorem nnmcl 6822
Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnmcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
21eleq1d 2478 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  .o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
54eleq1d 2478 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
76eleq1d 2478 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  e.  om  <->  ( A  .o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
98eleq1d 2478 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  e.  om  <->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nnm0 6815 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
11 peano1 4831 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
1210, 11syl6eqel 2500 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
13 nnacl 6821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
1413expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  om )
)
16 nnmsuc 6817 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
1716eleq1d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  e.  om  <->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  om ) )
1815, 17sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y )  e.  om ) )
1918expcom 425 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  .o  y
)  e.  om  ->  ( A  .o  suc  y
)  e.  om )
) )
205, 7, 9, 12, 19finds2 4840 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  x )  e.  om ) )
213, 20vtoclga 2985 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  B )  e.  om ) )
2221impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3596   suc csuc 4551   omcom 4812  (class class class)co 6048    +o coa 6688    .o comu 6689
This theorem is referenced by:  nnecl  6823  nnmcli  6825  nndi  6833  nnmass  6834  nnmsucr  6835  nnmordi  6841  nnmord  6842  nnmword  6843  omabslem  6856  nnneo  6861  nneob  6862  fin1a2lem4  8247  mulclpi  8734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-oadd 6695  df-omul 6696
  Copyright terms: Public domain W3C validator