Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcom Unicode version

Theorem nnmcom 6624
 Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmcom

Proof of Theorem nnmcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . 5
2 oveq2 5866 . . . . 5
31, 2eqeq12d 2297 . . . 4
43imbi2d 307 . . 3
5 oveq1 5865 . . . . 5
6 oveq2 5866 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2297 . . . 4
8 oveq1 5865 . . . . 5
9 oveq2 5866 . . . . 5
108, 9eqeq12d 2297 . . . 4
11 oveq1 5865 . . . . 5
12 oveq2 5866 . . . . 5
1311, 12eqeq12d 2297 . . . 4
14 nnm0r 6608 . . . . 5
15 nnm0 6603 . . . . 5
1614, 15eqtr4d 2318 . . . 4
17 oveq1 5865 . . . . . 6
18 nnmsucr 6623 . . . . . . 7
19 nnmsuc 6605 . . . . . . . 8
2019ancoms 439 . . . . . . 7
2118, 20eqeq12d 2297 . . . . . 6
2217, 21syl5ibr 212 . . . . 5
2322ex 423 . . . 4
247, 10, 13, 16, 23finds2 4684 . . 3
254, 24vtoclga 2849 . 2
2625imp 418 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  c0 3455   csuc 4394  com 4656  (class class class)co 5858   coa 6476   comu 6477 This theorem is referenced by:  nnmwordri  6634  nn2m  6648  omopthlem1  6653  mulcompi  8520 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484
 Copyright terms: Public domain W3C validator