MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcl Unicode version

Theorem nnmulcl 9769
Description: Closure of multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  1 ) )
21eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
32imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) ) )
4 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
54eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  y )  e.  NN ) )
65imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( y  +  1 ) ) )
87eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
98imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
10 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  B ) )
1110eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
1211imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN ) ) )
13 nncn 9754 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
14 mulid1 8835 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1514eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  1 )  e.  NN  <->  A  e.  NN ) )
1615biimprd 214 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
1713, 16mpcom 32 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN )
18 nnaddcl 9768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  y
)  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A
)  e.  NN )
1918ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A )  e.  NN )
20 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
21 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
22 adddi 8826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2414oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  y
)  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2623, 25eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2713, 20, 26syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2827eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( A  x.  y
)  +  A )  e.  NN ) )
2919, 28syl5ibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y )  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
3029exp4b 590 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) ) )
3130pm2.43b 46 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
3231a2d 23 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 9764 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
3433impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  nnmulcli  9770  nndivtr  9787  nnmulcld  9793  nn0mulcl  10000  qaddcl  10332  qmulcl  10334  modmulnn  10988  nnexpcl  11116  nnsqcl  11173  expmulnbnd  11233  faccl  11298  facdiv  11300  faclbnd3  11305  faclbnd4lem3  11308  faclbnd5  11311  bcrpcl  11321  trirecip  12321  pcmptcl  12939  prmreclem1  12963  prmreclem6  12968  4sqlem12  13003  vdwlem3  13030  vdwlem9  13036  vdwlem10  13037  mulgnnass  14595  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  elqaalem2  19700  elqaalem3  19701  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem2  20243  log2ub  20245  basellem1  20318  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem5  20322  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem8  20325  basellem9  20326  efnnfsumcl  20340  efchtdvds  20397  mumullem1  20417  mumullem2  20418  fsumdvdscom  20425  dvdsflf1o  20427  chtublem  20450  pcbcctr  20515  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem3  20620  dchrisumlem1  20638  mulogsum  20681  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd  20715  ostth2lem1  20767  subfaclim  23719  jm2.17a  27047  jm2.17b  27048  jm2.17c  27049  acongrep  27067  acongeq  27070  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator