MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Structured version   Unicode version

Theorem nnmulcld 10039
Description: Closure of multiplication of natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnmulcl 10015 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073    x. cmul 8987   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  bcm1k  11598  bcp1n  11599  permnn  11609  trireciplem  12633  efaddlem  12687  eftlub  12702  eirrlem  12795  isprm5  13104  crt  13159  phimullem  13160  pcqmul  13219  pcaddlem  13249  pcbc  13261  pockthlem  13265  pockthg  13266  vdwlem3  13343  vdwlem6  13346  vdwlem9  13349  torsubg  15461  ablfacrp  15616  dgrcolem1  20183  aalioulem5  20245  aaliou3lem2  20252  log2cnv  20776  log2tlbnd  20777  log2ublem2  20779  log2ub  20781  wilthlem2  20844  ftalem7  20853  basellem5  20859  mumul  20956  fsumfldivdiaglem  20966  dvdsmulf1o  20971  sgmmul  20977  chtublem  20987  bcmono  21053  bposlem3  21062  bposlem5  21064  lgsquadlem2  21131  lgsquadlem3  21132  lgsquad2lem2  21135  2sqlem6  21145  rplogsumlem1  21170  rplogsumlem2  21171  dchrisum0fmul  21192  vmalogdivsum2  21224  pntrsumbnd2  21253  pntpbnd1  21272  pntpbnd2  21273  ostth2lem2  21320  lgamgulmlem4  24808  subfaclim  24866  faclim2  25359  jm2.27c  27069  wallispilem5  27785  wallispi2lem1  27787  wallispi2  27789  stirlinglem3  27792  stirlinglem8  27797  stirlinglem15  27804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator