MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Unicode version

Theorem nnmulcld 9972
Description: Closure of multiplication of natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnmulcl 9948 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6013    x. cmul 8921   NNcn 9925
This theorem is referenced by:  bcm1k  11526  bcp1n  11527  permnn  11537  trireciplem  12561  efaddlem  12615  eftlub  12630  eirrlem  12723  isprm5  13032  crt  13087  phimullem  13088  pcqmul  13147  pcaddlem  13177  pcbc  13189  pockthlem  13193  pockthg  13194  vdwlem3  13271  vdwlem6  13274  vdwlem9  13277  torsubg  15389  ablfacrp  15544  dgrcolem1  20051  aalioulem5  20113  aaliou3lem2  20120  log2cnv  20644  log2tlbnd  20645  log2ublem2  20647  log2ub  20649  wilthlem2  20712  ftalem7  20721  basellem5  20727  mumul  20824  fsumfldivdiaglem  20834  dvdsmulf1o  20839  sgmmul  20845  chtublem  20855  bcmono  20921  bposlem3  20930  bposlem5  20932  lgsquadlem2  20999  lgsquadlem3  21000  lgsquad2lem2  21003  2sqlem6  21013  rplogsumlem1  21038  rplogsumlem2  21039  dchrisum0fmul  21060  vmalogdivsum2  21092  pntrsumbnd2  21121  pntpbnd1  21140  pntpbnd2  21141  ostth2lem2  21188  lgamgulmlem4  24588  subfaclim  24646  faclim2  25118  jm2.27c  26762  wallispilem5  27479  wallispi2lem1  27481  wallispi2  27483  stirlinglem3  27486  stirlinglem8  27491  stirlinglem15  27498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-nn 9926
  Copyright terms: Public domain W3C validator