MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Unicode version

Theorem nnmulcld 9793
Description: Closure of multiplication of natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnmulcl 9769 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858    x. cmul 8742   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  bcm1k  11327  bcp1n  11328  permnn  11336  trireciplem  12320  efaddlem  12374  eftlub  12389  eirrlem  12482  isprm5  12791  crt  12846  phimullem  12847  pcqmul  12906  pcaddlem  12936  pcbc  12948  pockthlem  12952  pockthg  12953  vdwlem3  13030  vdwlem6  13033  vdwlem9  13036  torsubg  15146  ablfacrp  15301  dgrcolem1  19654  aalioulem5  19716  aaliou3lem2  19723  log2cnv  20240  log2tlbnd  20241  log2ublem2  20243  log2ub  20245  wilthlem2  20307  ftalem7  20316  basellem5  20322  mumul  20419  fsumfldivdiaglem  20429  dvdsmulf1o  20434  sgmmul  20440  chtublem  20450  bcmono  20516  bposlem3  20525  bposlem5  20527  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  lgsquad2lem2  20598  2sqlem6  20608  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisum0fmul  20655  vmalogdivsum2  20687  pntrsumbnd2  20716  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  ostth2lem2  20783  subfaclim  23130  jm2.27c  26512  wallispilem5  27230  wallispi2lem1  27232  wallispi2  27234  stirlinglem3  27237  stirlinglem8  27242  stirlinglem15  27249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator