MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcli Unicode version

Theorem nnmulcli 9949
Description: Closure of multiplication of natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnmulcli.1  |-  A  e.  NN
nnmulcli.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
nnmulcli  |-  ( A  x.  B )  e.  NN

Proof of Theorem nnmulcli
StepHypRef Expression
1 nnmulcli.1 . 2  |-  A  e.  NN
2 nnmulcli.2 . 2  |-  B  e.  NN
3 nnmulcl 9948 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( A  x.  B )  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717  (class class class)co 6013    x. cmul 8921   NNcn 9925
This theorem is referenced by:  numnncl2  10324  ef01bndlem  12705  pockthi  13195  dec5nprm  13322  dec2nprm  13323  log2ublem1  20646  log2ublem2  20647  log2ub  20649  bclbnd  20924  bposlem8  20935  lgsdir2lem5  20971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-nn 9926
  Copyright terms: Public domain W3C validator