HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem nnmulclt 5943
Description: Closure of multiplication of natural numbers.
Assertion
Ref Expression
nnmulclt |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A x. B) e. NN)
Proof of Theorem nnmulclt
StepHypRef Expression
1 opreq2 3975 . . . . 5 |- (x = 1 -> (A x. x) = (A x. 1))
21eleq1d 1543 . . . 4 |- (x = 1 -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. 1) e. NN))
32imbi2d 614 . . 3 |- (x = 1 -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. 1) e. NN)))
4 opreq2 3975 . . . . 5 |- (x = y -> (A x. x) = (A x. y))
54eleq1d 1543 . . . 4 |- (x = y -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. y) e. NN))
65imbi2d 614 . . 3 |- (x = y -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. y) e. NN)))
7 opreq2 3975 . . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A x. x) = (A x. (y + 1)))
87eleq1d 1543 . . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. (y + 1)) e. NN))
98imbi2d 614 . . 3 |- (x = (y + 1) -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
10 opreq2 3975 . . . . 5 |- (x = B -> (A x. x) = (A x. B))
1110eleq1d 1543 . . . 4 |- (x = B -> ((A x. x) e. NN <-> (A x. B) e. NN))
1211imbi2d 614 . . 3 |- (x = B -> ((A e. NN -> (A x. x) e. NN) <-> (A e. NN -> (A x. B) e. NN)))
13 nncnt 5932 . . . 4 |- (A e. NN -> A e. CC)
14 ax1id 5294 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1514eleq1d 1543 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((A x. 1) e. NN <-> A e. NN))
1615biimprd 154 . . . 4 |- (A e. CC -> (A e. NN -> (A x. 1) e. NN))
1713, 16mpcom 49 . . 3 |- (A e. NN -> (A x. 1) e. NN)
18 ax1cn 5281 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
19 axdistr 5291 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + (A x. 1)))
2018, 19mp3an3 907 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + (A x. 1)))
2114opreq2d 3982 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((A x. y) + (A x. 1)) = ((A x. y) + A))
2221adantr 391 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> ((A x. y) + (A x. 1)) = ((A x. y) + A))
2320, 22eqtrd 1510 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ y e. CC) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + A))
24 nncnt 5932 . . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> y e. CC)
2523, 13, 24syl2an 456 . . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (A x. (y + 1)) = ((A x. y) + A))
2625eleq1d 1543 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A x. (y + 1)) e. NN <-> ((A x. y) + A) e. NN))
27 nnaddclt 5942 . . . . . . . 8 |- (((A x. y) e. NN /\ A e. NN) -> ((A x. y) + A) e. NN)
2827ancoms 438 . . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ (A x. y) e. NN) -> ((A x. y) + A) e. NN)
2926, 28syl5bir 210 . . . . . 6 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> ((A e. NN /\ (A x. y) e. NN) -> (A x. (y + 1)) e. NN))
3029exp4b 381 . . . . 5 |- (A e. NN -> (y e. NN -> (A e. NN -> ((A x. y) e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN))))
3130pm2.43b 67 . . . 4 |- (y e. NN -> (A e. NN -> ((A x. y) e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
3231a2d 13 . . 3 |- (y e. NN -> ((A e. NN -> (A x. y) e. NN) -> (A e. NN -> (A x. (y + 1)) e. NN)))
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 5939 . 2 |- (B e. NN -> (A e. NN -> (A x. B) e. NN))
3433impcom 351 1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A x. B) e. NN)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  NNcn 5308
This theorem is referenced by:  nndivtrt 5962  nn0mulcl 6124  qaddclt 6270  qmulclt 6272  nnexpclt 6577  nnesq 6663  facclt 6940  facdivt 6942  faclbnd3 6947  faclbnd4lem3 6950  faclbnd5 6953  bcpasc2 6967  permnnt 6973  efaddlem3 7340  efaddlem5 7342  efaddlem7 7344  efaddlem12 7349  efaddlem15 7352  efaddlem17 7354  efaddlem19 7356  efaddlem21 7358  efaddlem22 7359  efaddlem25 7362  eftlubclt 7376  ef1tllem 7381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927
Copyright terms: Public domain