MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmwordri Unicode version

Theorem nnmwordri 6650
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmwordri  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem nnmwordri
StepHypRef Expression
1 nnmwordi 6649 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
) ) )
2 nnmcom 6640 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  C
)  =  ( C  .o  A ) )
323adant2 974 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  C )  =  ( C  .o  A
) )
4 nnmcom 6640 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  .o  C
)  =  ( C  .o  B ) )
543adant1 973 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  .o  C )  =  ( C  .o  B
) )
63, 5sseq12d 3220 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  C
)  C_  ( B  .o  C )  <->  ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B ) ) )
71, 6sylibrd 225 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   omcom 4672  (class class class)co 5874    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  omopthlem1  6669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator