MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Structured version   Unicode version

Theorem nnne0 10024
Description: A natural number is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 10023 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
2 eleq1 2495 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
31, 2mtbiri 295 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  NN )
43necon2ai 2643 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   0cc0 8982   NNcn 9992
This theorem is referenced by:  nndivre  10027  nndiv  10032  nndivtr  10033  nnne0d  10036  zdiv  10332  zdivadd  10333  zdivmul  10334  elq  10568  qmulz  10569  qre  10571  qaddcl  10582  qnegcl  10583  qmulcl  10584  qreccl  10586  rpnnen1lem5  10596  quoremz  11228  quoremnn0  11229  quoremnn0ALT  11230  intfracq  11232  fldiv  11233  fldiv2  11234  modmulnn  11257  expnnval  11377  expneg  11381  digit2  11504  facdiv  11570  facndiv  11571  bcm1k  11598  bcp1n  11599  bcval5  11601  hashnncl  11637  divcnv  12625  harmonic  12630  expcnv  12635  ef0lem  12673  ruclem6  12826  sqr2irr  12840  dvdsval3  12848  nndivdvds  12850  dvdseq  12889  divalg2  12917  divalgmod  12918  ndvdssub  12919  modgcd  13028  gcddiv  13041  gcdeq  13044  sqgcd  13050  eucalgf  13066  eucalginv  13067  qredeq  13098  qredeu  13099  isprm6  13101  divgcdodd  13111  divnumden  13132  divdenle  13133  phimullem  13160  pythagtriplem10  13186  pythagtriplem8  13189  pythagtriplem9  13190  pythagtriplem19  13199  pccl  13215  pcdiv  13218  pcqcl  13222  pcdvds  13229  pcndvds  13231  pcndvds2  13233  pceq0  13236  pcneg  13239  pcz  13246  pcmpt  13253  fldivp1  13258  pcfac  13260  infpnlem2  13271  mulgnn  14888  mulgnegnn  14892  oddvdsnn0  15174  odmulgeq  15185  gexnnod  15214  qsssubdrg  16750  prmirredlem  16765  znf1o  16824  znhash  16831  znidomb  16834  znunithash  16837  znrrg  16838  vitali  19497  mbfi1fseqlem3  19601  dvexp2  19832  plyeq0lem  20121  abelthlem9  20348  logtayllem  20542  logtayl  20543  logtaylsum  20544  logtayl2  20545  cxpexp  20551  cxproot  20573  root1id  20630  root1eq1  20631  cxpeq  20633  atantayl  20769  atantayl2  20770  leibpilem2  20773  leibpi  20774  birthdaylem2  20783  birthdaylem3  20784  dfef2  20801  emcllem2  20827  emcllem3  20828  basellem4  20858  basellem5  20859  basellem8  20862  basellem9  20863  mumullem2  20955  dvdsflip  20959  fsumdvdscom  20962  chtublem  20987  dchrelbas4  21019  bclbnd  21056  lgsval4a  21094  lgsabs1  21110  lgssq  21111  lgssq2  21112  dchrmusumlema  21179  dchrmusum2  21180  dchrvmasumiflem1  21187  dchrvmaeq0  21190  dchrisum0flblem1  21194  dchrisum0flblem2  21195  dchrisum0re  21199  ostthlem1  21313  ostth1  21319  cyclnspth  21610  gxpval  21839  gxmodid  21859  ipasslem4  22327  ipasslem5  22328  divnumden2  24153  qqhval2  24358  qqhnm  24366  zetacvg  24791  lgam1  24840  subfacp1lem6  24863  circum  25103  fz0n  25194  divcnvlin  25204  iprodgam  25311  faclim  25357  nndivsub  26199  heiborlem4  26504  heiborlem6  26506  pellexlem1  26873  congrep  27019  jm2.20nn  27049  hashgcdlem  27474  phisum  27476  proot1ex  27478  clim1fr1  27684  wallispilem5  27775  wallispi2lem1  27777  stirlinglem1  27780  stirlinglem3  27782  stirlinglem4  27783  stirlinglem5  27784  stirlinglem7  27786  stirlinglem10  27789  stirlinglem12  27791  stirlinglem14  27793  stirlinglem15  27794  fzo1fzo0n0  28101  modidmul0  28128  cshwssizelem3  28235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993
  Copyright terms: Public domain W3C validator