MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Unicode version

Theorem nnne0 9794
Description: A natural number is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 9793 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
2 eleq1 2356 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
31, 2mtbiri 294 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  NN )
43necon2ai 2504 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   0cc0 8753   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  nndivre  9797  nndiv  9802  nndivtr  9803  nnne0d  9806  zdiv  10098  zdivadd  10099  zdivmul  10100  elq  10334  qmulz  10335  qre  10337  qaddcl  10348  qnegcl  10349  qmulcl  10350  qreccl  10352  rpnnen1lem5  10362  quoremz  10975  quoremnn0  10976  quoremnn0ALT  10977  intfracq  10979  fldiv  10980  fldiv2  10981  modmulnn  11004  expnnval  11123  expneg  11127  digit2  11250  facdiv  11316  facndiv  11317  bcm1k  11343  bcp1n  11344  bcval5  11346  hashnncl  11370  divcnv  12328  harmonic  12333  expcnv  12338  ef0lem  12376  ruclem6  12529  sqr2irr  12543  dvdsval3  12551  nndivdvds  12553  dvdseq  12592  divalg2  12620  divalgmod  12621  ndvdssub  12622  modgcd  12731  gcddiv  12744  gcdeq  12747  sqgcd  12753  eucalgf  12769  eucalginv  12770  qredeq  12801  qredeu  12802  isprm6  12804  divgcdodd  12814  divnumden  12835  divdenle  12836  phimullem  12863  pythagtriplem10  12889  pythagtriplem8  12892  pythagtriplem9  12893  pythagtriplem19  12902  pccl  12918  pcdiv  12921  pcqcl  12925  pcdvds  12932  pcndvds  12934  pcndvds2  12936  pceq0  12939  pcneg  12942  pcz  12949  pcmpt  12956  fldivp1  12961  pcfac  12963  infpnlem2  12974  mulgnn  14589  mulgnegnn  14593  oddvdsnn0  14875  odmulgeq  14886  gexnnod  14915  qsssubdrg  16447  prmirredlem  16462  znf1o  16521  znhash  16528  znidomb  16531  znunithash  16534  znrrg  16535  vitali  18984  mbfi1fseqlem3  19088  dvexp2  19319  plyeq0lem  19608  abelthlem9  19832  logtayllem  20022  logtayl  20023  logtaylsum  20024  logtayl2  20025  cxpexp  20031  cxproot  20053  root1id  20110  root1eq1  20111  cxpeq  20113  atantayl  20249  atantayl2  20250  leibpilem2  20253  leibpi  20254  birthdaylem2  20263  birthdaylem3  20264  dfef2  20281  emcllem2  20306  emcllem3  20307  basellem4  20337  basellem5  20338  basellem8  20341  basellem9  20342  mumullem2  20434  dvdsflip  20438  fsumdvdscom  20441  chtublem  20466  dchrelbas4  20498  bclbnd  20535  lgsval4a  20573  lgsabs1  20589  lgssq  20590  lgssq2  20591  dchrmusumlema  20658  dchrmusum2  20659  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmaeq0  20669  dchrisum0flblem1  20673  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0re  20678  ostthlem1  20792  ostth1  20798  gxpval  20942  gxmodid  20962  ipasslem4  21428  ipasslem5  21429  zetacvg  23704  subfacp1lem6  23731  circum  24022  fz0n  24112  faclimlem3  24119  nndivsub  24968  heiborlem4  26641  heiborlem6  26643  pellexlem1  27017  congrep  27163  jm2.20nn  27193  hashgcdlem  27619  phisum  27621  proot1ex  27623  clim1fr1  27830  itgsinexp  27852  stoweidlem1  27853  stoweidlem11  27863  stoweidlem25  27877  stoweidlem26  27878  stoweidlem30  27882  stoweidlem37  27889  stoweidlem38  27890  stoweidlem42  27894  stoweidlem44  27896  stoweidlem51  27903  wallispilem4  27920  wallispilem5  27921  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924  stirlinglem1  27926  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem5  27930  stirlinglem7  27932  stirlinglem10  27935  stirlinglem12  27937  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940  cyclnspth  28376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator