MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Unicode version

Theorem nnne0 9778
Description: A natural number is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 9777 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
2 eleq1 2343 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
31, 2mtbiri 294 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  NN )
43necon2ai 2491 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   0cc0 8737   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  nndivre  9781  nndiv  9786  nndivtr  9787  nnne0d  9790  zdiv  10082  zdivadd  10083  zdivmul  10084  elq  10318  qmulz  10319  qre  10321  qaddcl  10332  qnegcl  10333  qmulcl  10334  qreccl  10336  rpnnen1lem5  10346  quoremz  10959  quoremnn0  10960  quoremnn0ALT  10961  intfracq  10963  fldiv  10964  fldiv2  10965  modmulnn  10988  expnnval  11107  expneg  11111  digit2  11234  facdiv  11300  facndiv  11301  bcm1k  11327  bcp1n  11328  bcval5  11330  hashnncl  11354  divcnv  12312  harmonic  12317  expcnv  12322  ef0lem  12360  ruclem6  12513  sqr2irr  12527  dvdsval3  12535  nndivdvds  12537  dvdseq  12576  divalg2  12604  divalgmod  12605  ndvdssub  12606  modgcd  12715  gcddiv  12728  gcdeq  12731  sqgcd  12737  eucalgf  12753  eucalginv  12754  qredeq  12785  qredeu  12786  isprm6  12788  divgcdodd  12798  divnumden  12819  divdenle  12820  phimullem  12847  pythagtriplem10  12873  pythagtriplem8  12876  pythagtriplem9  12877  pythagtriplem19  12886  pccl  12902  pcdiv  12905  pcqcl  12909  pcdvds  12916  pcndvds  12918  pcndvds2  12920  pceq0  12923  pcneg  12926  pcz  12933  pcmpt  12940  fldivp1  12945  pcfac  12947  infpnlem2  12958  mulgnn  14573  mulgnegnn  14577  oddvdsnn0  14859  odmulgeq  14870  gexnnod  14899  qsssubdrg  16431  prmirredlem  16446  znf1o  16505  znhash  16512  znidomb  16515  znunithash  16518  znrrg  16519  vitali  18968  mbfi1fseqlem3  19072  dvexp2  19303  plyeq0lem  19592  abelthlem9  19816  logtayllem  20006  logtayl  20007  logtaylsum  20008  logtayl2  20009  cxpexp  20015  cxproot  20037  root1id  20094  root1eq1  20095  cxpeq  20097  atantayl  20233  atantayl2  20234  leibpilem2  20237  leibpi  20238  birthdaylem2  20247  birthdaylem3  20248  dfef2  20265  emcllem2  20290  emcllem3  20291  basellem4  20321  basellem5  20322  basellem8  20325  basellem9  20326  mumullem2  20418  dvdsflip  20422  fsumdvdscom  20425  chtublem  20450  dchrelbas4  20482  bclbnd  20519  lgsval4a  20557  lgsabs1  20573  lgssq  20574  lgssq2  20575  dchrmusumlema  20642  dchrmusum2  20643  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmaeq0  20653  dchrisum0flblem1  20657  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0re  20662  ostthlem1  20776  ostth1  20782  gxpval  20926  gxmodid  20946  ipasslem4  21412  ipasslem5  21413  zetacvg  23689  subfacp1lem6  23716  circum  24007  fz0n  24097  nndivsub  24896  heiborlem4  26538  heiborlem6  26540  pellexlem1  26914  congrep  27060  jm2.20nn  27090  hashgcdlem  27516  phisum  27518  proot1ex  27520  clim1fr1  27727  itgsinexp  27749  stoweidlem1  27750  stoweidlem11  27760  stoweidlem25  27774  stoweidlem26  27775  stoweidlem30  27779  stoweidlem37  27786  stoweidlem38  27787  stoweidlem42  27791  stoweidlem44  27793  stoweidlem51  27800  wallispilem4  27817  wallispilem5  27818  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  stirlinglem1  27823  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832  stirlinglem12  27834  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator