MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Unicode version

Theorem nnne0 9964
Description: A natural number is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 9963 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
2 eleq1 2447 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
31, 2mtbiri 295 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  NN )
43necon2ai 2595 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   0cc0 8923   NNcn 9932
This theorem is referenced by:  nndivre  9967  nndiv  9972  nndivtr  9973  nnne0d  9976  zdiv  10272  zdivadd  10273  zdivmul  10274  elq  10508  qmulz  10509  qre  10511  qaddcl  10522  qnegcl  10523  qmulcl  10524  qreccl  10526  rpnnen1lem5  10536  quoremz  11163  quoremnn0  11164  quoremnn0ALT  11165  intfracq  11167  fldiv  11168  fldiv2  11169  modmulnn  11192  expnnval  11312  expneg  11316  digit2  11439  facdiv  11505  facndiv  11506  bcm1k  11533  bcp1n  11534  bcval5  11536  hashnncl  11572  divcnv  12560  harmonic  12565  expcnv  12570  ef0lem  12608  ruclem6  12761  sqr2irr  12775  dvdsval3  12783  nndivdvds  12785  dvdseq  12824  divalg2  12852  divalgmod  12853  ndvdssub  12854  modgcd  12963  gcddiv  12976  gcdeq  12979  sqgcd  12985  eucalgf  13001  eucalginv  13002  qredeq  13033  qredeu  13034  isprm6  13036  divgcdodd  13046  divnumden  13067  divdenle  13068  phimullem  13095  pythagtriplem10  13121  pythagtriplem8  13124  pythagtriplem9  13125  pythagtriplem19  13134  pccl  13150  pcdiv  13153  pcqcl  13157  pcdvds  13164  pcndvds  13166  pcndvds2  13168  pceq0  13171  pcneg  13174  pcz  13181  pcmpt  13188  fldivp1  13193  pcfac  13195  infpnlem2  13206  mulgnn  14823  mulgnegnn  14827  oddvdsnn0  15109  odmulgeq  15120  gexnnod  15149  qsssubdrg  16681  prmirredlem  16696  znf1o  16755  znhash  16762  znidomb  16765  znunithash  16768  znrrg  16769  vitali  19372  mbfi1fseqlem3  19476  dvexp2  19707  plyeq0lem  19996  abelthlem9  20223  logtayllem  20417  logtayl  20418  logtaylsum  20419  logtayl2  20420  cxpexp  20426  cxproot  20448  root1id  20505  root1eq1  20506  cxpeq  20508  atantayl  20644  atantayl2  20645  leibpilem2  20648  leibpi  20649  birthdaylem2  20658  birthdaylem3  20659  dfef2  20676  emcllem2  20702  emcllem3  20703  basellem4  20733  basellem5  20734  basellem8  20737  basellem9  20738  mumullem2  20830  dvdsflip  20834  fsumdvdscom  20837  chtublem  20862  dchrelbas4  20894  bclbnd  20931  lgsval4a  20969  lgsabs1  20985  lgssq  20986  lgssq2  20987  dchrmusumlema  21054  dchrmusum2  21055  dchrvmasumiflem1  21062  dchrvmaeq0  21065  dchrisum0flblem1  21069  dchrisum0flblem2  21070  dchrisum0re  21074  ostthlem1  21188  ostth1  21194  cyclnspth  21466  gxpval  21695  gxmodid  21715  ipasslem4  22183  ipasslem5  22184  divnumden2  23999  qqhval2  24165  qqhnm  24173  zetacvg  24578  lgam1  24627  subfacp1lem6  24650  circum  24890  fz0n  24981  divcnvlin  24991  faclim  25123  nndivsub  25921  heiborlem4  26214  heiborlem6  26216  pellexlem1  26583  congrep  26729  jm2.20nn  26759  hashgcdlem  27185  phisum  27187  proot1ex  27189  clim1fr1  27395  wallispilem5  27486  wallispi2lem1  27488  stirlinglem1  27491  stirlinglem3  27493  stirlinglem4  27494  stirlinglem5  27495  stirlinglem7  27497  stirlinglem10  27500  stirlinglem12  27502  stirlinglem14  27504  stirlinglem15  27505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933
  Copyright terms: Public domain W3C validator