MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnneo Unicode version

Theorem nnneo 6861
Description: If a natural number is even, its successor is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnneo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  ->  -.  suc  C  =  ( 2o  .o  B ) )

Proof of Theorem nnneo
StepHypRef Expression
1 nnon 4818 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onnbtwn 4640 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
433ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
5 suceq 4614 . . . . 5  |-  ( C  =  ( 2o  .o  A )  ->  suc  C  =  suc  ( 2o 
.o  A ) )
65eqeq1d 2420 . . . 4  |-  ( C  =  ( 2o  .o  A )  ->  ( suc  C  =  ( 2o 
.o  B )  <->  suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
) ) )
763ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  -> 
( suc  C  =  ( 2o  .o  B
)  <->  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) ) )
8 ovex 6073 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
.o  A )  e. 
_V
98sucid 4628 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
.o  A )  e. 
suc  ( 2o  .o  A )
10 eleq2 2473 . . . . . . 7  |-  ( suc  ( 2o  .o  A
)  =  ( 2o 
.o  B )  -> 
( ( 2o  .o  A )  e.  suc  ( 2o  .o  A
)  <->  ( 2o  .o  A )  e.  ( 2o  .o  B ) ) )
119, 10mpbii 203 . . . . . 6  |-  ( suc  ( 2o  .o  A
)  =  ( 2o 
.o  B )  -> 
( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  B ) )
12 2onn 6850 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
13 nnmord 6842 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  2o  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  2o )  <-> 
( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  B ) ) )
1412, 13mp3an3 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  B ) ) )
15 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  (/) 
e.  2o )  ->  A  e.  B )
1614, 15syl6bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( 2o  .o  A )  e.  ( 2o  .o  B )  ->  A  e.  B
) )
1711, 16syl5 30 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
)  ->  A  e.  B ) )
18 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
) )
19 nnmcl 6822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( 2o  .o  A
)  e.  om )
2012, 19mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( 2o  .o  A )  e. 
om )
21 nnon 4818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  A )  e.  om  ->  ( 2o  .o  A )  e.  On )
22 oa1suc 6742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  A )  e.  On  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  A ) )
2320, 21, 223syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  A ) )
24 1onn 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
2524elexi 2933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  _V
2625sucid 4628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  suc  1o
27 df-2o 6692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
2826, 27eleqtrri 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  2o
29 nnaord 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  2o  e.  om  /\  ( 2o  .o  A )  e. 
om )  ->  ( 1o  e.  2o  <->  ( ( 2o  .o  A )  +o  1o )  e.  ( ( 2o  .o  A
)  +o  2o ) ) )
3024, 12, 29mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2o  .o  A )  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  <->  ( ( 2o  .o  A )  +o  1o )  e.  ( ( 2o  .o  A
)  +o  2o ) ) )
3120, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  <->  ( ( 2o  .o  A )  +o  1o )  e.  ( ( 2o  .o  A
)  +o  2o ) ) )
3228, 31mpbii 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  e.  ( ( 2o 
.o  A )  +o  2o ) )
33 nnmsuc 6817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( 2o  .o  suc  A )  =  ( ( 2o  .o  A )  +o  2o ) )
3412, 33mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( 2o  .o  suc  A )  =  ( ( 2o 
.o  A )  +o  2o ) )
3532, 34eleqtrrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  e.  ( 2o  .o  suc  A ) )
3623, 35eqeltrrd 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  suc  ( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
)
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  suc  ( 2o 
.o  A )  e.  ( 2o  .o  suc  A ) )
3818, 37eqeltrrd 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  ( 2o  .o  B )  e.  ( 2o  .o  suc  A
) )
39 peano2 4832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
40 nnmord 6842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  om  /\  suc  A  e.  om  /\  2o  e.  om )  -> 
( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4112, 40mp3an3 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4239, 41sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4342ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4443adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  ( ( B  e.  suc  A  /\  (/) 
e.  2o )  <->  ( 2o  .o  B )  e.  ( 2o  .o  suc  A
) ) )
4538, 44mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  ( B  e.  suc  A  /\  (/)  e.  2o ) )
4645simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  B  e.  suc  A )
4746ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
)  ->  B  e.  suc  A ) )
4817, 47jcad 520 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
)  ->  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) ) )
49483adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  -> 
( suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B )  ->  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) ) )
507, 49sylbid 207 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  -> 
( suc  C  =  ( 2o  .o  B
)  ->  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) ) )
514, 50mtod 170 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  ->  -.  suc  C  =  ( 2o  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3596   Oncon0 4549   suc csuc 4551   omcom 4812  (class class class)co 6048   1oc1o 6684   2oc2o 6685    +o coa 6688    .o comu 6689
This theorem is referenced by:  nneob  6862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696
  Copyright terms: Public domain W3C validator