MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnneo Unicode version

Theorem nnneo 6736
Description: If a natural number is even, its successor is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnneo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  ->  -.  suc  C  =  ( 2o  .o  B ) )

Proof of Theorem nnneo
StepHypRef Expression
1 nnon 4744 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onnbtwn 4566 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
433ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
5 suceq 4539 . . . . 5  |-  ( C  =  ( 2o  .o  A )  ->  suc  C  =  suc  ( 2o 
.o  A ) )
65eqeq1d 2366 . . . 4  |-  ( C  =  ( 2o  .o  A )  ->  ( suc  C  =  ( 2o 
.o  B )  <->  suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
) ) )
763ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  -> 
( suc  C  =  ( 2o  .o  B
)  <->  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) ) )
8 ovex 5970 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
.o  A )  e. 
_V
98sucid 4553 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
.o  A )  e. 
suc  ( 2o  .o  A )
10 eleq2 2419 . . . . . . 7  |-  ( suc  ( 2o  .o  A
)  =  ( 2o 
.o  B )  -> 
( ( 2o  .o  A )  e.  suc  ( 2o  .o  A
)  <->  ( 2o  .o  A )  e.  ( 2o  .o  B ) ) )
119, 10mpbii 202 . . . . . 6  |-  ( suc  ( 2o  .o  A
)  =  ( 2o 
.o  B )  -> 
( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  B ) )
12 2onn 6725 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
13 nnmord 6717 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  2o  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  2o )  <-> 
( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  B ) ) )
1412, 13mp3an3 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  B ) ) )
15 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  (/) 
e.  2o )  ->  A  e.  B )
1614, 15syl6bir 220 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( 2o  .o  A )  e.  ( 2o  .o  B )  ->  A  e.  B
) )
1711, 16syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
)  ->  A  e.  B ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
) )
19 nnmcl 6697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( 2o  .o  A
)  e.  om )
2012, 19mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( 2o  .o  A )  e. 
om )
21 nnon 4744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  A )  e.  om  ->  ( 2o  .o  A )  e.  On )
22 oa1suc 6617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  A )  e.  On  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  A ) )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  A ) )
24 1onn 6724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
2524elexi 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  _V
2625sucid 4553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  suc  1o
27 df-2o 6567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
2826, 27eleqtrri 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  2o
29 nnaord 6704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  2o  e.  om  /\  ( 2o  .o  A )  e. 
om )  ->  ( 1o  e.  2o  <->  ( ( 2o  .o  A )  +o  1o )  e.  ( ( 2o  .o  A
)  +o  2o ) ) )
3024, 12, 29mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2o  .o  A )  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  <->  ( ( 2o  .o  A )  +o  1o )  e.  ( ( 2o  .o  A
)  +o  2o ) ) )
3120, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  <->  ( ( 2o  .o  A )  +o  1o )  e.  ( ( 2o  .o  A
)  +o  2o ) ) )
3228, 31mpbii 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  e.  ( ( 2o 
.o  A )  +o  2o ) )
33 nnmsuc 6692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( 2o  .o  suc  A )  =  ( ( 2o  .o  A )  +o  2o ) )
3412, 33mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( 2o  .o  suc  A )  =  ( ( 2o 
.o  A )  +o  2o ) )
3532, 34eleqtrrd 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  (
( 2o  .o  A
)  +o  1o )  e.  ( 2o  .o  suc  A ) )
3623, 35eqeltrrd 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  suc  ( 2o  .o  A
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
)
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  suc  ( 2o 
.o  A )  e.  ( 2o  .o  suc  A ) )
3818, 37eqeltrrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  ( 2o  .o  B )  e.  ( 2o  .o  suc  A
) )
39 peano2 4758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
40 nnmord 6717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  om  /\  suc  A  e.  om  /\  2o  e.  om )  -> 
( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4112, 40mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4239, 41sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4342ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e. 
suc  A  /\  (/)  e.  2o ) 
<->  ( 2o  .o  B
)  e.  ( 2o 
.o  suc  A )
) )
4443adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  ( ( B  e.  suc  A  /\  (/) 
e.  2o )  <->  ( 2o  .o  B )  e.  ( 2o  .o  suc  A
) ) )
4538, 44mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  ( B  e.  suc  A  /\  (/)  e.  2o ) )
4645simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B ) )  ->  B  e.  suc  A )
4746ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
)  ->  B  e.  suc  A ) )
4817, 47jcad 519 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  ( 2o 
.o  A )  =  ( 2o  .o  B
)  ->  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) ) )
49483adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  -> 
( suc  ( 2o  .o  A )  =  ( 2o  .o  B )  ->  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) ) )
507, 49sylbid 206 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  -> 
( suc  C  =  ( 2o  .o  B
)  ->  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) ) )
514, 50mtod 168 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  =  ( 2o  .o  A ) )  ->  -.  suc  C  =  ( 2o  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   (/)c0 3531   Oncon0 4474   suc csuc 4476   omcom 4738  (class class class)co 5945   1oc1o 6559   2oc2o 6560    +o coa 6563    .o comu 6564
This theorem is referenced by:  nneob  6737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571
  Copyright terms: Public domain W3C validator