MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Unicode version

Theorem nnrecred 10047
Description: The reciprocal of a natural number is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 10038 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    / cdiv 9679   NNcn 10002
This theorem is referenced by:  trireciplem  12643  trirecip  12644  geo2sum  12652  geo2lim  12654  ege2le3  12694  eftlub  12712  eirrlem  12805  prmreclem6  13291  lmnn  19218  bcthlem5  19283  opnmbllem  19495  mbfi1fseqlem4  19612  taylthlem2  20292  logtayl  20553  leibpi  20784  amgmlem  20830  emcllem1  20836  emcllem2  20837  emcllem3  20838  emcllem5  20840  harmoniclbnd  20849  harmonicubnd  20850  harmonicbnd4  20851  fsumharmonic  20852  ftalem4  20860  ftalem5  20861  basellem6  20870  basellem7  20871  basellem9  20873  chpchtsum  21005  logfaclbnd  21008  rplogsumlem2  21181  rpvmasumlem  21183  dchrmusum2  21190  dchrvmasumlem3  21195  dchrisum0fno1  21207  mulogsumlem  21227  mulogsum  21228  mulog2sumlem1  21230  vmalogdivsum2  21234  logdivbnd  21252  pntrsumo1  21261  pntrlog2bndlem2  21274  pntrlog2bndlem5  21277  pntrlog2bndlem6  21279  pntpbnd2  21283  padicabvf  21327  minvecolem3  22380  minvecolem4  22384  lgamgulmlem1  24815  lgamgulmlem2  24816  lgamgulmlem3  24817  lgamgulmlem5  24819  lgamucov  24824  subfacval3  24877  cvmliftlem13  24985  bpolydiflem  26102  opnmbllem0  26244  heiborlem7  26528  irrapxlem4  26890  stoweidlem30  27757  stoweidlem38  27765  stoweidlem44  27771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003
  Copyright terms: Public domain W3C validator