MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Unicode version

Theorem nnrecred 9791
Description: The reciprocal of a natural number is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 9782 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    / cdiv 9423   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  trireciplem  12320  trirecip  12321  geo2sum  12329  geo2lim  12331  ege2le3  12371  eftlub  12389  eirrlem  12482  prmreclem6  12968  lmnn  18689  bcthlem5  18750  opnmbllem  18956  mbfi1fseqlem4  19073  taylthlem2  19753  logtayl  20007  leibpi  20238  amgmlem  20284  emcllem1  20289  emcllem2  20290  emcllem3  20291  emcllem5  20293  harmoniclbnd  20302  harmonicubnd  20303  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  ftalem4  20313  ftalem5  20314  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem9  20326  chpchtsum  20458  logfaclbnd  20461  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem3  20648  dchrisum0fno1  20660  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  vmalogdivsum2  20687  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntpbnd2  20736  padicabvf  20780  minvecolem3  21455  minvecolem4  21459  subfacval3  23720  cvmliftlem13  23827  bpolydiflem  24789  heiborlem7  26541  irrapxlem4  26910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator