MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Unicode version

Theorem nnred 9761
Description: A natural number is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 9750 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3178 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   RRcr 8736   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  uzwo3  10311  modmulnn  10988  bernneq3  11229  expmulnbnd  11233  facwordi  11302  faclbnd  11303  faclbnd2  11304  faclbnd3  11305  faclbnd5  11311  faclbnd6  11312  facubnd  11313  facavg  11314  bcp1nk  11329  hashf1  11395  swrds2  11560  isercolllem1  12138  isercoll  12141  o1fsum  12271  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  eftabs  12357  efcllem  12359  ege2le3  12371  efcj  12373  eftlub  12389  eflegeo  12401  eirrlem  12482  fzm1ndvds  12580  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsinv1lem  12632  sadcaddlem  12648  smueqlem  12681  bezoutlem3  12719  bezoutlem4  12720  sqgcd  12737  prmind2  12769  coprm  12779  prmfac1  12797  divdenle  12820  qnumgt0  12821  zsqrelqelz  12829  hashdvds  12843  eulerthlem2  12850  odzdvds  12860  pythagtriplem11  12878  pythagtriplem13  12880  pythagtriplem19  12886  pclem  12891  pcpre1  12895  pcidlem  12924  pcadd  12937  pcmpt  12940  pcmpt2  12941  pcfaclem  12946  pcfac  12947  qexpz  12949  pockthlem  12952  pockthg  12953  prmreclem1  12963  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  1arithlem4  12973  1arith  12974  4sqlem5  12989  4sqlem6  12990  4sqlem10  12994  mul4sqlem  13000  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem13  13004  4sqlem14  13005  4sqlem15  13006  4sqlem16  13007  4sqlem17  13008  vdwlem1  13028  vdwlem3  13030  vdwlem6  13033  vdwlem9  13036  vdwlem10  13037  vdwlem12  13039  vdwnnlem3  13044  ramub1lem1  13073  2expltfac  13105  mndodconglem  14856  oddvds  14862  sylow1lem1  14909  sylow1lem5  14913  fislw  14936  efgredlem  15056  gexexlem  15144  zlpirlem3  16443  prmirredlem  16446  lebnumii  18464  lmnn  18689  ovolunlem1a  18855  ovoliunlem1  18861  ovolicc2lem3  18878  ovolicc2lem4  18879  iundisj  18905  voliunlem1  18907  uniioombllem3  18940  dyadf  18946  dyadovol  18948  dyaddisjlem  18950  dyadmaxlem  18952  opnmbllem  18956  vitalilem4  18966  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  itg2gt0  19115  itg2cnlem2  19117  dgreq0  19646  dgrco  19656  elqaalem2  19700  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem8  19725  aaliou3lem9  19730  leibpi  20238  log2tlbnd  20241  birthdaylem3  20248  amgm  20285  emcllem2  20290  harmonicbnd4  20304  wilthlem1  20306  ftalem5  20314  basellem1  20318  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem5  20322  basellem6  20323  basellem8  20325  chtge0  20350  chtwordi  20394  vma1  20404  dvdsdivcl  20421  dvdsflf1o  20427  dvdsflsumcom  20428  fsumfldivdiaglem  20429  sgmmul  20440  chtublem  20450  fsumvma2  20453  logfac2  20456  chpchtsum  20458  chpub  20459  logfaclbnd  20461  logexprlim  20464  mersenne  20466  perfectlem2  20469  dchrelbas4  20482  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem7  20529  bposlem9  20531  lgslem1  20535  lgslem4  20538  lgsval2lem  20545  lgsdirprm  20568  lgsdir  20569  lgsne0  20572  lgsqrlem2  20581  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  m1lgs  20601  2sqlem3  20605  2sqlem8  20611  2sqblem  20616  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem3  20620  chtppilimlem1  20622  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisum0lem1a  20635  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  dchrisumlem3  20640  dchrvmasumiflem1  20650  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dirith2  20677  selbergb  20698  selberg2lem  20699  logdivbnd  20705  selberg3lem2  20707  selberg4lem1  20709  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntibndlem2a  20739  pntibndlem2  20740  pntlemg  20747  pntlemh  20748  pntlemj  20752  pntlemf  20754  ostth2lem1  20767  padicabvf  20780  padicabvcxp  20781  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  ostth2lem4  20785  ostth2  20786  ostth3  20787  ubthlem2  21450  minvecolem4  21459  iundisjfi  23363  iundisjf  23365  esumcst  23436  dstfrvunirn  23675  dstfrvclim1  23678  subfaclim  23719  subfacval3  23720  erdszelem7  23728  erdszelem8  23729  erdsze2lem2  23735  cvmliftlem2  23817  cvmliftlem6  23821  cvmliftlem7  23822  cvmliftlem8  23823  cvmliftlem9  23824  cvmliftlem10  23825  cvmliftlem13  23827  eupap1  23900  cntrset  25602  nn0prpwlem  26238  incsequz  26458  nninfnub  26461  irrapxlem3  26909  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  pellexlem2  26915  pellexlem6  26919  pell14qrgt0  26944  pell14qrgapw  26961  pellfundgt1  26968  rmspecsqrnq  26991  ltrmxnn0  27036  jm3.1lem1  27110  jm3.1lem3  27112  dgraa0p  27354  psgnunilem4  27420  stoweidlem59  27808  wallispi  27819  wallispi2  27822  stirlinglem3  27825  stirlinglem4  27826  stirlinglem8  27830  stirlinglem12  27834  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator