MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrp Unicode version

Theorem nnrp 10452
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrp  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrp
StepHypRef Expression
1 nnre 9840 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nngt0 9862 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
3 elrp 10445 . 2  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   class class class wbr 4102   RRcr 8823   0cc0 8824    < clt 8954   NNcn 9833   RR+crp 10443
This theorem is referenced by:  nnrpd  10478  zmodcl  11078  zmodfz  11080  nnesq  11315  digit2  11324  digit1  11325  bcrpcl  11411  bcval5  11420  divcnv  12403  supcvg  12405  harmonic  12408  expcnv  12413  rpnnen2lem11  12594  sqr2irr  12618  dvdsval3  12626  moddvds  12629  divalgmod  12696  modgcd  12806  isprm6  12879  isprm5  12882  pythagtriplem13  12971  fldivp1  13036  prmreclem5  13058  prmreclem6  13059  4sqlem12  13094  modxai  13174  modsubi  13178  odmodnn0  14948  gexdvds  14988  sylow1lem1  15002  gexexlem  15237  znf1o  16605  met1stc  18163  lmnn  18787  bcthlem5  18848  minveclem3  18891  vitalilem4  19064  vitali  19066  ismbf3d  19107  itg2seq  19195  plyeq0lem  19690  elqaalem3  19799  aalioulem6  19815  aaliou  19816  logtayllem  20111  atan1  20329  leibpi  20343  birthdaylem2  20352  dfef2  20370  divsqrsumlem  20379  emcllem1  20395  emcllem2  20396  emcllem3  20397  emcllem4  20398  emcllem6  20400  ppiub  20549  vmalelog  20550  logfacbnd3  20568  logexprlim  20570  bcmono  20622  bclbnd  20625  bposlem1  20629  bposlem7  20635  bposlem8  20636  bposlem9  20637  m1lgs  20707  rplogsumlem1  20739  dchrisumlema  20743  dchrisumlem2  20745  dchrisumlem3  20746  dchrvmasumlem2  20753  dchrvmasumiflem1  20756  dchrisum0lem1b  20770  dchrisum0lem2a  20772  rplogsum  20782  logdivsum  20788  mulog2sumlem2  20790  logsqvma  20797  logsqvma2  20798  log2sumbnd  20799  selberg2lem  20805  logdivbnd  20811  pntrsumo1  20820  pntrsumbnd  20821  pntibndlem1  20844  pntibndlem2  20846  pntibndlem3  20847  pntlemd  20849  pntlema  20851  pntlemb  20852  pntlemr  20857  pntlemj  20858  pntlemf  20860  pntlemo  20862  gxmodid  21052  lnconi  22721  zetacvg  24048  lgam1  24097  circum  24411  zmodid2  24414  gamma1  24645  faclimlem3  24656  faclim  24657  itg2addnclem2  25493  itg2addnc  25494  pellexlem4  26240  pell1qrgaplem  26281  pellqrex  26287  congrep  26383  acongeq  26393  dvdsabsmod0  26402  proot1ex  26843  stoweidlem31  27103  wallispilem4  27140  wallispi  27142  wallispi2lem1  27143  wallispi2lem2  27144  stirlinglem1  27146  stirlinglem2  27147  stirlinglem3  27148  stirlinglem4  27149  stirlinglem6  27151  stirlinglem7  27152  stirlinglem10  27155  stirlinglem11  27156  stirlinglem13  27158  stirlinglem14  27159  stirlinglem15  27160  stirlingr  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-rp 10444
  Copyright terms: Public domain W3C validator