MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrp Unicode version

Theorem nnrp 10585
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrp  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrp
StepHypRef Expression
1 nnre 9971 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nngt0 9993 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
3 elrp 10578 . 2  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   RRcr 8953   0cc0 8954    < clt 9084   NNcn 9964   RR+crp 10576
This theorem is referenced by:  nnrpd  10611  zmodcl  11229  zmodfz  11231  nnesq  11466  digit2  11475  digit1  11476  bcrpcl  11562  bcval5  11572  divcnv  12596  supcvg  12598  harmonic  12601  expcnv  12606  rpnnen2lem11  12787  sqr2irr  12811  dvdsval3  12819  moddvds  12822  divalgmod  12889  modgcd  12999  isprm6  13072  isprm5  13075  pythagtriplem13  13164  fldivp1  13229  prmreclem5  13251  prmreclem6  13252  4sqlem12  13287  modxai  13367  modsubi  13371  odmodnn0  15141  gexdvds  15181  sylow1lem1  15195  gexexlem  15430  znf1o  16795  met1stc  18512  lmnn  19177  bcthlem5  19242  minveclem3  19291  vitalilem4  19464  vitali  19466  ismbf3d  19507  itg2seq  19595  plyeq0lem  20090  elqaalem3  20199  aalioulem6  20215  aaliou  20216  logtayllem  20511  atan1  20729  leibpi  20743  birthdaylem2  20752  dfef2  20770  divsqrsumlem  20779  emcllem1  20795  emcllem2  20796  emcllem3  20797  emcllem4  20798  emcllem6  20800  ppiub  20949  vmalelog  20950  logfacbnd3  20968  logexprlim  20970  bcmono  21022  bclbnd  21025  bposlem1  21029  bposlem7  21035  bposlem8  21036  bposlem9  21037  m1lgs  21107  rplogsumlem1  21139  dchrisumlema  21143  dchrisumlem2  21145  dchrisumlem3  21146  dchrvmasumlem2  21153  dchrvmasumiflem1  21156  dchrisum0lem1b  21170  dchrisum0lem2a  21172  rplogsum  21182  logdivsum  21188  mulog2sumlem2  21190  logsqvma  21197  logsqvma2  21198  log2sumbnd  21199  selberg2lem  21205  logdivbnd  21211  pntrsumo1  21220  pntrsumbnd  21221  pntibndlem1  21244  pntibndlem2  21246  pntibndlem3  21247  pntlemd  21249  pntlema  21251  pntlemb  21252  pntlemr  21257  pntlemj  21258  pntlemf  21260  pntlemo  21262  gxmodid  21828  lnconi  23497  zetacvg  24760  lgam1  24809  circum  25072  zmodid2  25075  faclimlem3  25320  faclim  25321  mblfinlem2  26152  itg2addnclem2  26164  itg2addnclem3  26165  itg2addnc  26166  pellexlem4  26793  pell1qrgaplem  26834  pellqrex  26840  congrep  26936  acongeq  26946  dvdsabsmod0  26955  proot1ex  27396  wallispilem4  27692  wallispi  27694  wallispi2lem1  27695  wallispi2lem2  27696  stirlinglem1  27698  stirlinglem2  27699  stirlinglem3  27700  stirlinglem4  27701  stirlinglem6  27703  stirlinglem7  27704  stirlinglem10  27707  stirlinglem11  27708  stirlinglem13  27710  stirlinglem14  27711  stirlinglem15  27712  stirlingr  27714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-rp 10577
  Copyright terms: Public domain W3C validator