MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Unicode version

Theorem nnrpd 10652
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10626 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   NNcn 10005   RR+crp 10617
This theorem is referenced by:  modmulnn  11270  nnesq  11508  digit1  11518  bcpasc  11617  iseralt  12483  mertenslem1  12666  mertenslem2  12667  ege2le3  12697  eftlub  12715  effsumlt  12717  eirrlem  12808  sqr2irrlem  12852  dvdsmod  12911  bitsfzo  12952  bitsmod  12953  bitscmp  12955  bitsinv1lem  12958  sadaddlem  12983  sadasslem  12987  bitsres  12990  smumul  13010  bezoutlem3  13045  eucalglt  13081  prmind2  13095  crt  13172  eulerthlem2  13176  fermltl  13178  prmdiv  13179  prmdiveq  13180  odzdvds  13186  prmreclem3  13291  prmreclem5  13293  prmreclem6  13294  4sqlem5  13315  4sqlem6  13316  4sqlem7  13317  4sqlem10  13320  4sqlem12  13329  vdwlem1  13354  mndodcong  15185  odmod  15189  oddvds  15190  dfod2  15205  gexexlem  15472  zlpirlem3  16775  met1stc  18556  met2ndci  18557  lebnumlem3  18993  lebnumii  18996  ovollb2lem  19389  ovoliunlem1  19403  ovoliunlem3  19405  uniioombllem6  19485  itg2cnlem2  19657  elqaalem2  20242  aalioulem2  20255  aalioulem4  20257  aalioulem5  20258  aaliou2b  20263  aaliou3lem9  20272  logfac  20500  cxpeq  20646  leibpi  20787  amgmlem  20833  emcllem1  20839  emcllem2  20840  emcllem3  20841  emcllem5  20843  harmoniclbnd  20852  harmonicubnd  20853  harmonicbnd4  20854  fsumharmonic  20855  wilthlem1  20856  wilthlem2  20857  basellem1  20868  basellem6  20873  basellem8  20875  chtf  20896  efchtcl  20899  chtge0  20900  vmacl  20906  efvmacl  20908  sgmnncl  20935  chtprm  20941  chtdif  20946  efchtdvds  20947  prmorcht  20966  sgmppw  20986  vmalelog  20994  chtleppi  20999  chtublem  21000  fsumvma2  21003  pclogsum  21004  vmasum  21005  chpchtsum  21008  chpub  21009  logfacubnd  21010  logfaclbnd  21011  logfacbnd3  21012  logfacrlim  21013  logexprlim  21014  logfacrlim2  21015  perfectlem2  21019  bclbnd  21069  bposlem1  21073  bposlem2  21074  bposlem4  21076  bposlem5  21077  bposlem6  21078  bposlem7  21079  bposlem9  21081  lgslem1  21085  lgslem4  21088  lgsvalmod  21104  lgsmod  21110  lgsdirprm  21118  lgsne0  21122  lgsqrlem2  21131  lgseisenlem1  21138  lgseisenlem2  21139  lgseisenlem3  21140  lgseisenlem4  21141  lgseisen  21142  lgsquadlem2  21144  lgsquadlem3  21145  m1lgs  21151  2sqlem8  21161  chebbnd1lem1  21168  chebbnd1lem2  21169  chebbnd1lem3  21170  chebbnd1  21171  chtppilimlem1  21172  chtppilimlem2  21173  chtppilim  21174  chebbnd2  21176  chto1lb  21177  vmadivsum  21181  vmadivsumb  21182  rplogsumlem1  21183  rplogsumlem2  21184  dchrisum0lem1a  21185  rpvmasumlem  21186  dchrisumlema  21187  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem2  21189  dchrmusum2  21193  dchrvmasumlem1  21194  dchrvmasum2lem  21195  dchrvmasum2if  21196  dchrvmasumlem2  21197  dchrvmasumlem3  21198  dchrvmasumiflem1  21200  dchrvmasumiflem2  21201  dchrisum0flblem2  21208  dchrisum0fno1  21210  dchrisum0lema  21213  dchrisum0lem1b  21214  dchrisum0lem1  21215  dchrisum0lem2a  21216  dchrisum0lem2  21217  dchrisum0lem3  21218  dchrisum0  21219  dirith2  21227  mudivsum  21229  mulogsumlem  21230  mulogsum  21231  mulog2sumlem1  21233  mulog2sumlem2  21234  mulog2sumlem3  21235  vmalogdivsum2  21237  vmalogdivsum  21238  2vmadivsumlem  21239  logsqvma  21241  log2sumbnd  21243  selberglem1  21244  selberglem2  21245  selberglem3  21246  selberg  21247  selbergb  21248  selberg2lem  21249  selberg2  21250  selberg2b  21251  chpdifbndlem1  21252  logdivbnd  21255  selberg3lem1  21256  selberg3lem2  21257  selberg3  21258  selberg4lem1  21259  selberg4  21260  pntrsumo1  21264  pntrsumbnd2  21266  selbergr  21267  selberg3r  21268  selberg4r  21269  selberg34r  21270  pntsf  21272  pntsval2  21275  pntrlog2bndlem1  21276  pntrlog2bndlem2  21277  pntrlog2bndlem3  21278  pntrlog2bndlem4  21279  pntrlog2bndlem5  21280  pntrlog2bndlem6  21282  pntrlog2bnd  21283  pntpbnd1a  21284  pntpbnd1  21285  pntpbnd2  21286  pntibndlem2  21290  pntlemn  21299  pntlemj  21302  pntlemf  21304  pntlemk  21305  pntlemo  21306  pnt  21313  padicabvcxp  21331  ostth2lem2  21333  ostth2lem3  21334  ostth2lem4  21335  ostth2  21336  ostth3  21337  ubthlem2  22378  minvecolem3  22383  lnconi  23541  ltesubnnd  24167  rnlogblem  24404  zetacvg  24804  lgamgulmlem2  24819  lgamgulmlem3  24820  lgamgulmlem4  24821  lgamgulmlem5  24822  lgamgulmlem6  24823  lgamgulm2  24825  lgambdd  24826  lgamucov  24827  lgamcvg2  24844  gamcvg  24845  gamcvg2lem  24848  regamcl  24850  relgamcl  24851  lgam1  24853  iprodgam  25324  faclimlem1  25367  faclimlem3  25369  faclim  25370  iprodfac  25371  heiborlem3  26535  heiborlem5  26537  heiborlem6  26538  heiborlem7  26539  heiborlem8  26540  heibor  26543  rrndstprj2  26553  rrncmslem  26554  rrnequiv  26557  irrapxlem5  26902  pell14qrgapw  26952  pellqrexplicit  26953  pellqrex  26955  pellfundge  26958  pellfundgt1  26959  jm3.1lem1  27101  jm3.1lem2  27102  stoweidlem31  27769  stoweidlem59  27797  wallispilem3  27805  wallispi  27808  stirlinglem12  27823  stirlinglem15  27826  modprm0  28261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-rp 10618
  Copyright terms: Public domain W3C validator