MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Unicode version

Theorem nnrpd 10481
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10455 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   NNcn 9836   RR+crp 10446
This theorem is referenced by:  modmulnn  11080  nnesq  11318  digit1  11328  bcpasc  11426  iseralt  12254  mertenslem1  12437  mertenslem2  12438  ege2le3  12468  eftlub  12486  effsumlt  12488  eirrlem  12579  sqr2irrlem  12623  dvdsmod  12682  bitsfzo  12723  bitsmod  12724  bitscmp  12726  bitsinv1lem  12729  sadaddlem  12754  sadasslem  12758  bitsres  12761  smumul  12781  bezoutlem3  12816  eucalglt  12852  prmind2  12866  crt  12943  eulerthlem2  12947  fermltl  12949  prmdiv  12950  prmdiveq  12951  odzdvds  12957  prmreclem3  13062  prmreclem5  13064  prmreclem6  13065  4sqlem5  13086  4sqlem6  13087  4sqlem7  13088  4sqlem10  13091  4sqlem12  13100  vdwlem1  13125  mndodcong  14956  odmod  14960  oddvds  14961  dfod2  14976  gexexlem  15243  zlpirlem3  16549  met1stc  18169  met2ndci  18170  lebnumlem3  18565  lebnumii  18568  ovollb2lem  18951  ovoliunlem1  18965  ovoliunlem3  18967  uniioombllem6  19047  itg2cnlem2  19221  elqaalem2  19804  aalioulem2  19817  aalioulem4  19819  aalioulem5  19820  aaliou2b  19825  aaliou3lem9  19834  logfac  20062  cxpeq  20208  leibpi  20349  amgmlem  20395  emcllem1  20401  emcllem2  20402  emcllem3  20403  emcllem5  20405  harmoniclbnd  20414  harmonicubnd  20415  harmonicbnd4  20416  fsumharmonic  20417  wilthlem1  20418  wilthlem2  20419  basellem1  20430  basellem6  20435  basellem8  20437  chtf  20458  efchtcl  20461  chtge0  20462  vmacl  20468  efvmacl  20470  sgmnncl  20497  chtprm  20503  chtdif  20508  efchtdvds  20509  prmorcht  20528  sgmppw  20548  vmalelog  20556  chtleppi  20561  chtublem  20562  fsumvma2  20565  pclogsum  20566  vmasum  20567  chpchtsum  20570  chpub  20571  logfacubnd  20572  logfaclbnd  20573  logfacbnd3  20574  logfacrlim  20575  logexprlim  20576  logfacrlim2  20577  perfectlem2  20581  bclbnd  20631  bposlem1  20635  bposlem2  20636  bposlem4  20638  bposlem5  20639  bposlem6  20640  bposlem7  20641  bposlem9  20643  lgslem1  20647  lgslem4  20650  lgsvalmod  20666  lgsmod  20672  lgsdirprm  20680  lgsne0  20684  lgsqrlem2  20693  lgseisenlem1  20700  lgseisenlem2  20701  lgseisenlem3  20702  lgseisenlem4  20703  lgseisen  20704  lgsquadlem2  20706  lgsquadlem3  20707  m1lgs  20713  2sqlem8  20723  chebbnd1lem1  20730  chebbnd1lem2  20731  chebbnd1lem3  20732  chebbnd1  20733  chtppilimlem1  20734  chtppilimlem2  20735  chtppilim  20736  chebbnd2  20738  chto1lb  20739  vmadivsum  20743  vmadivsumb  20744  rplogsumlem1  20745  rplogsumlem2  20746  dchrisum0lem1a  20747  rpvmasumlem  20748  dchrisumlema  20749  dchrisumlem1  20750  dchrisumlem2  20751  dchrmusum2  20755  dchrvmasumlem1  20756  dchrvmasum2lem  20757  dchrvmasum2if  20758  dchrvmasumlem2  20759  dchrvmasumlem3  20760  dchrvmasumiflem1  20762  dchrvmasumiflem2  20763  dchrisum0flblem2  20770  dchrisum0fno1  20772  dchrisum0lema  20775  dchrisum0lem1b  20776  dchrisum0lem1  20777  dchrisum0lem2a  20778  dchrisum0lem2  20779  dchrisum0lem3  20780  dchrisum0  20781  dirith2  20789  mudivsum  20791  mulogsumlem  20792  mulogsum  20793  mulog2sumlem1  20795  mulog2sumlem2  20796  mulog2sumlem3  20797  vmalogdivsum2  20799  vmalogdivsum  20800  2vmadivsumlem  20801  logsqvma  20803  log2sumbnd  20805  selberglem1  20806  selberglem2  20807  selberglem3  20808  selberg  20809  selbergb  20810  selberg2lem  20811  selberg2  20812  selberg2b  20813  chpdifbndlem1  20814  logdivbnd  20817  selberg3lem1  20818  selberg3lem2  20819  selberg3  20820  selberg4lem1  20821  selberg4  20822  pntrsumo1  20826  pntrsumbnd2  20828  selbergr  20829  selberg3r  20830  selberg4r  20831  selberg34r  20832  pntsf  20834  pntsval2  20837  pntrlog2bndlem1  20838  pntrlog2bndlem2  20839  pntrlog2bndlem3  20840  pntrlog2bndlem4  20841  pntrlog2bndlem5  20842  pntrlog2bndlem6  20844  pntrlog2bnd  20845  pntpbnd1a  20846  pntpbnd1  20847  pntpbnd2  20848  pntibndlem2  20852  pntlemn  20861  pntlemj  20864  pntlemf  20866  pntlemk  20867  pntlemo  20868  pnt  20875  padicabvcxp  20893  ostth2lem2  20895  ostth2lem3  20896  ostth2lem4  20897  ostth2  20898  ostth3  20899  ubthlem2  21564  minvecolem3  21569  lnconi  22727  ltesubnnd  23366  rnlogblem  23665  zetacvg  24048  lgamgulmlem2  24063  lgamgulmlem3  24064  lgamgulmlem4  24065  lgamgulmlem5  24066  lgamgulmlem6  24067  lgamgulm2  24069  lgambdd  24070  lgamucov  24071  lgamcvg2  24088  gamcvg  24089  gamcvg2lem  24092  regamcl  24094  relgamcl  24095  lgam1  24097  gammacvglem1  24651  gammacvglem2  24652  gammacvglem3  24653  faclimlem1  24654  faclimlem3  24656  faclim  24657  iprodfac  24658  heiborlem3  25860  heiborlem5  25862  heiborlem6  25863  heiborlem7  25864  heiborlem8  25865  heibor  25868  rrndstprj2  25878  rrncmslem  25879  rrnequiv  25882  irrapxlem5  26234  pell14qrgapw  26284  pellqrexplicit  26285  pellqrex  26287  pellfundge  26290  pellfundgt1  26291  jm3.1lem1  26433  jm3.1lem2  26434  stoweidlem59  27131  wallispilem3  27139  wallispi  27142  stirlinglem12  27157  stirlinglem15  27160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-rp 10447
  Copyright terms: Public domain W3C validator