MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Unicode version

Theorem nnrpd 10389
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10363 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   NNcn 9746   RR+crp 10354
This theorem is referenced by:  modmulnn  10988  nnesq  11225  digit1  11235  bcpasc  11333  iseralt  12157  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  ege2le3  12371  eftlub  12389  effsumlt  12391  eirrlem  12482  sqr2irrlem  12526  dvdsmod  12585  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  bitscmp  12629  bitsinv1lem  12632  sadaddlem  12657  sadasslem  12661  bitsres  12664  smumul  12684  bezoutlem3  12719  eucalglt  12755  prmind2  12769  crt  12846  eulerthlem2  12850  fermltl  12852  prmdiv  12853  prmdiveq  12854  odzdvds  12860  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  4sqlem5  12989  4sqlem6  12990  4sqlem7  12991  4sqlem10  12994  4sqlem12  13003  vdwlem1  13028  mndodcong  14857  odmod  14861  oddvds  14862  dfod2  14877  gexexlem  15144  zlpirlem3  16443  met1stc  18067  met2ndci  18068  lebnumlem3  18461  lebnumii  18464  ovollb2lem  18847  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem3  18863  uniioombllem6  18943  itg2cnlem2  19117  elqaalem2  19700  aalioulem2  19713  aalioulem4  19715  aalioulem5  19716  aaliou2b  19721  aaliou3lem9  19730  logfac  19954  cxpeq  20097  leibpi  20238  amgmlem  20284  emcllem1  20289  emcllem2  20290  emcllem3  20291  emcllem5  20293  harmoniclbnd  20302  harmonicubnd  20303  harmonicbnd4  20304  fsumharmonic  20305  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  basellem1  20318  basellem6  20323  basellem8  20325  chtf  20346  efchtcl  20349  chtge0  20350  vmacl  20356  efvmacl  20358  sgmnncl  20385  chtprm  20391  chtdif  20396  efchtdvds  20397  prmorcht  20416  sgmppw  20436  vmalelog  20444  chtleppi  20449  chtublem  20450  fsumvma2  20453  pclogsum  20454  vmasum  20455  chpchtsum  20458  chpub  20459  logfacubnd  20460  logfaclbnd  20461  logfacbnd3  20462  logfacrlim  20463  logexprlim  20464  logfacrlim2  20465  perfectlem2  20469  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem7  20529  bposlem9  20531  lgslem1  20535  lgslem4  20538  lgsvalmod  20554  lgsmod  20560  lgsdirprm  20568  lgsne0  20572  lgsqrlem2  20581  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  m1lgs  20601  2sqlem8  20611  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  chtppilimlem1  20622  chtppilimlem2  20623  chtppilim  20624  chebbnd2  20626  chto1lb  20627  vmadivsum  20631  vmadivsumb  20632  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisum0lem1a  20635  rpvmasumlem  20636  dchrisumlema  20637  dchrisumlem1  20638  dchrisumlem2  20639  dchrmusum2  20643  dchrvmasumlem1  20644  dchrvmasum2lem  20645  dchrvmasum2if  20646  dchrvmasumlem2  20647  dchrvmasumlem3  20648  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmasumiflem2  20651  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0fno1  20660  dchrisum0lema  20663  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem1  20665  dchrisum0lem2a  20666  dchrisum0lem2  20667  dchrisum0lem3  20668  dchrisum0  20669  dirith2  20677  mudivsum  20679  mulogsumlem  20680  mulogsum  20681  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  mulog2sumlem3  20685  vmalogdivsum2  20687  vmalogdivsum  20688  2vmadivsumlem  20689  logsqvma  20691  log2sumbnd  20693  selberglem1  20694  selberglem2  20695  selberglem3  20696  selberg  20697  selbergb  20698  selberg2lem  20699  selberg2  20700  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  logdivbnd  20705  selberg3lem1  20706  selberg3lem2  20707  selberg3  20708  selberg4lem1  20709  selberg4  20710  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd2  20716  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  selberg34r  20720  pntsf  20722  pntsval2  20725  pntrlog2bndlem1  20726  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem4  20729  pntrlog2bndlem5  20730  pntrlog2bndlem6  20732  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemn  20749  pntlemj  20752  pntlemf  20754  pntlemk  20755  pntlemo  20756  pnt  20763  padicabvcxp  20781  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  ostth2lem4  20785  ostth2  20786  ostth3  20787  ubthlem2  21450  minvecolem3  21455  lnconi  22613  ltesubnnd  23033  rnlogblem  23401  zetacvg  23689  heiborlem3  26537  heiborlem5  26539  heiborlem6  26540  heiborlem7  26541  heiborlem8  26542  heibor  26545  rrndstprj2  26555  rrncmslem  26556  rrnequiv  26559  irrapxlem5  26911  pell14qrgapw  26961  pellqrexplicit  26962  pellqrex  26964  pellfundge  26967  pellfundgt1  26968  jm3.1lem1  27110  jm3.1lem2  27111  stoweidlem59  27808  wallispilem3  27816  wallispi  27819  stirlinglem12  27834  stirlinglem15  27837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-rp 10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator