MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomo Unicode version

Theorem nnsdomo 7098
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  A  C.  B ) )

Proof of Theorem nnsdomo
StepHypRef Expression
1 nndomo 7097 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
2 nneneq 7087 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~~  B  <->  A  =  B ) )
32notbid 285 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  A  ~~  B 
<->  -.  A  =  B ) )
41, 3anbi12d 691 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  ~~  B )  <->  ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B ) ) )
5 brsdom 6927 . 2  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  A  ~~  B ) )
6 dfpss2 3295 . 2  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  -.  A  =  B ) )
74, 5, 63bitr4g 279 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  A  C.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186    C. wpss 3187   class class class wbr 4060   omcom 4693    ~~ cen 6903    ~<_ cdom 6904    ~< csdm 6905
This theorem is referenced by:  omsucdomOLD  7099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909
  Copyright terms: Public domain W3C validator