MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssre Unicode version

Theorem nnssre 9840
Description: The natural numbers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnssre  |-  NN  C_  RR

Proof of Theorem nnssre
StepHypRef Expression
1 1re 8927 . 2  |-  1  e.  RR
2 peano2re 9075 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
32rgen 2684 . 2  |-  A. x  e.  RR  ( x  + 
1 )  e.  RR
4 peano5nni 9839 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  (
x  +  1 )  e.  RR )  ->  NN  C_  RR )
51, 3, 4mp2an 653 1  |-  NN  C_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1710   A.wral 2619    C_ wss 3228  (class class class)co 5945   RRcr 8826   1c1 8828    + caddc 8830   NNcn 9836
This theorem is referenced by:  nnsscn  9841  nnre  9843  dfnn3  9850  nnred  9851  nnunb  10053  nn0ssre  10061  isercolllem1  12234  isercolllem2  12235  isercoll  12237  o1fsum  12368  ruc  12618  gsumval3  15290  ovolctb2  18955  ovolicc2lem3  18982  ovolicc2lem4  18983  iundisj2  19010  iundisj2f  23228  ssnnssfz  23350  iundisjfi  23356  iundisj2fi  23357  xrsmulgzz  23396  ballotlemsup  24011  ballotlemimin  24012  erdszelem5  24130  erdszelem7  24132  erdszelem8  24133  incsequz2  25783  stoweidlem34  27106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-nn 9837
  Copyright terms: Public domain W3C validator