MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssre Unicode version

Theorem nnssre 9964
Description: The natural numbers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnssre  |-  NN  C_  RR

Proof of Theorem nnssre
StepHypRef Expression
1 1re 9050 . 2  |-  1  e.  RR
2 peano2re 9199 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
32rgen 2735 . 2  |-  A. x  e.  RR  ( x  + 
1 )  e.  RR
4 peano5nni 9963 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  (
x  +  1 )  e.  RR )  ->  NN  C_  RR )
51, 3, 4mp2an 654 1  |-  NN  C_  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721   A.wral 2670    C_ wss 3284  (class class class)co 6044   RRcr 8949   1c1 8951    + caddc 8953   NNcn 9960
This theorem is referenced by:  nnsscn  9965  nnre  9967  dfnn3  9974  nnred  9975  nnunb  10177  nn0ssre  10185  isercolllem1  12417  isercolllem2  12418  isercoll  12420  o1fsum  12551  ruc  12801  gsumval3  15473  ovolctb2  19345  ovolicc2lem3  19372  ovolicc2lem4  19373  iundisj2  19400  iundisj2f  23987  ssnnssfz  24105  iundisjfi  24109  iundisj2fi  24110  xrsmulgzz  24157  ballotlemsup  24719  erdszelem5  24838  erdszelem7  24840  erdszelem8  24841  incsequz2  26347  stoweidlem34  27654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-nn 9961
  Copyright terms: Public domain W3C validator