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Theorem nnsub 10040
Description: Subtraction of natural numbers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
z  <  x  <->  z  <  1 ) )
2 oveq1 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  z )  =  ( 1  -  z ) )
32eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
41, 3imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
54ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
6 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
z  <  x  <->  z  <  y ) )
7 oveq1 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  z )  =  ( y  -  z ) )
87eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  z )  e.  NN ) )
96, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
109ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
11 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
12 oveq1 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
1312eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
1411, 13imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
1514ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
16 breq2 4218 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <  x  <->  z  <  B ) )
17 oveq1 6090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  -  z )  =  ( B  -  z ) )
1817eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
1916, 18imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
2019ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
21 nnnlt1 10032 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
2221pm2.21d 101 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
2322rgen 2773 . . . 4  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN )
24 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <  y  <->  x  <  y ) )
25 oveq2 6091 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y  -  z )  =  ( y  -  x ) )
2625eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
2724, 26imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN ) ) )
2827cbvralv 2934 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  ( y  -  z )  e.  NN )  <->  A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
29 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
31 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
32 pncan 9313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
3330, 31, 32sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
34 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
3533, 34eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN )
36 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  +  1 )  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  - 
1 ) )
3736eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) )
3835, 37syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
3938a1dd 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
4039a1dd 45 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
41 breq1 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
x  <  y  <->  ( z  -  1 )  < 
y ) )
42 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
y  -  x )  =  ( y  -  ( z  -  1 ) ) )
4342eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( y  -  x
)  e.  NN  <->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) )
4441, 43imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN )  <-> 
( ( z  - 
1 )  <  y  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  e.  NN ) ) )
4544rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  -  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) ) )
46 nnre 10009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
47 nnre 10009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
48 1re 9092 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
49 ltsubadd 9500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  -  1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5048, 49mp3an2 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5146, 47, 50syl2anr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
52 nncn 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
53 subsub3 9335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
y  -  ( z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5431, 53mp3an3 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5529, 52, 54syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5655eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  -  ( z  -  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
5751, 56imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
5857biimpd 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  -> 
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN ) ) )
5945, 58syl9r 70 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
60 nn1m1nn 10022 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  \/  ( z  -  1 )  e.  NN ) )
6160adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  \/  ( z  - 
1 )  e.  NN ) )
6240, 59, 61mpjaod 372 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6362ralrimdva 2798 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6428, 63syl5bi 210 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 10020 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
66 breq1 4217 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  <  B  <->  A  <  B ) )
67 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( B  -  z )  =  ( B  -  A ) )
6867eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( B  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
6966, 68imbi12d 313 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) ) )
7069rspcva 3052 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A. z  e.  NN  (
z  <  B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )  ->  ( A  < 
B  ->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
7165, 70sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) )
72 nngt0 10031 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  0  <  ( B  -  A
) )
73 nnre 10009 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
74 nnre 10009 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
75 posdif 9523 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7673, 74, 75syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7772, 76syl5ibr 214 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  A  <  B ) )
7871, 77impbid 185 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    - cmin 9293   NNcn 10002
This theorem is referenced by:  nnsubi  10041  nn0sub  10272  faclbnd4lem4  11589  pythagtriplem13  13203  vdwlem12  13362  perfectlem1  21015  nndivsub  26209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003
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